真理表について

質問

pならばqの真理表において、p偽、q真のときなぜpならばqは真なんですか？

全く想像できません・・・。

回答No.2

minodaiski · ベストアンサー

結論だけ先に述べますと...

「p が偽のときに 'p ならば q' が真になる」

... が成り立たないといろいろ不都合が生じます。調べてみましょう。

[['ならば' の真理条件]]
'p ならば q' が真や偽になるための条件は...

(条件:真)
p が真のときには(必ず) q も真になること

(条件:偽)
p が真であるにも関わらず q は偽になること

... ですが、この '条件' は問題とされる 'p が偽の場合' にどうなるかは何も定めていません。

そこで、主に次の二つの態度に別れます。

[[態度1]]
そもそも、'p ならば q' が(必ず) 偽になるのは、'p が真なのに q は偽となる' 場合に限られる。
なぜならば、仮にそうでないとして場合わけしてみると...

(i) 「p が偽のときには q の真偽によらずに 'p ならば q' は偽になる」
... と考えると、'p ならば q' と 'p かつ q' は区別がつかなくなる。

(ii) 「p が偽のとき、'p ならば q' の真理値は、q が真のときには真、q が偽のときには偽になる」
... と考えると、'p ならば q' の真理値は、'q' 単独の真理値と一致します。

(iii) 「p が偽のとき、'p ならば q' の真理値は、q が真のときには偽、q が偽のときには真になる」
... と考えると、'p ならば q' の真理値は、p と q が同じ真理値のときには真、異なるときには偽、になります。これは、よく記号で 'p⇔q' などと表現される関係です。

(iv) 結局、上記 (i)~(iii) の場合には...
・'p かつ q' と区別がつかない
・p の真理値に関係なく q と真理値が一致する
・'p⇔q' と区別がつかない
... といった不都合が生まれます。どれも受け入れ難いものです。従って消去法的に、最後の場合...

「p が偽のときには q の真偽によらずに 'p ならば q' は真になる」

... が唯一の合理的な解釈として残ることになります。
すると、結局は...

「'p ならば q' が(必ず) 偽になるのは、'p が真なのに q は偽となる' 場合に限られる」

... ことになります。
敢えて(無理矢理?)合理化すれば...

'そもそも前提となるべき命題 p が偽なのだから、結論がどうあれ全体としては嘘をついたことにはならない'

... となるのでしょう。日常でとってよい態度かは別ですが。

日常使う 'ならば' と区別して、このような意味での用法は「真理関数的 'ならば'」などと呼ばれることがあります。数学ではこの '真理関数的' な意味で使われるのが普通です。

[[態度2]]
「そもそも、p が真の場合が問題なのだから、偽の場合などはそもそも考えるべきではない」

... という考え方もあります。いわゆる 'そもそも論' です。こちらの主義を採用すると、標準的な論理とは異なるものとなります。

とはいえ、一定の影響力がある考え方のようで、'真理関数的な考え方を明らかに回避して議論を展開している記事' を見かけることもあります。

想像ですが、'ならば' の解釈に関する議論そのものから距離をおきたいのでしょう。本題と直接関係のない問題には触らない方が無難というものですし、深入りすると論理学を勉強するはめになります。それ自体は有益と信じますが、相応に時間を喰われますので、必要以上には触らない方が良いかもしれません。

回答No.1

ta20000005

pならばq
↓
pの時は必ずq
↓
{pであってしかもqでない}ことはありえない
↓
{pかつ(qでない)}ことはない
↓(ドモルガン)
(pでない)または((qでない)ことはない)
↓
(pでない)またはq

なので、pでない、つまり、pが偽の時には真になるという気持ちでそう定義したわけです。