ルジャンドルの定理について。

質問

ルジャンドルの定理を証明していただけないでしょうか？無限個ある。という証明です。ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
これで、無限個の説明が足りないと言われたのですが、どう証明すれば良いのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。もし、ルジャンドルの定理の証明が載っている本があれば教えていただけると助かります。

回答No.27

muturajcp · ベストアンサー

自然数nと
素数p
に対して
n!の因数1,2,…,nの中のpの倍数の集合を
Y={kp|1≦kp≦n,kは自然数}
とする
X={k|1≦k≦[n/p],kは自然数}
とすると
Xの要素数は|X|=[n/p]である
f:X→Y
f(k)=kp
と関数f(k)を定義する
{j,k}⊂X
f(j)=f(k)
とすると
jp=f(j)=f(k)=kp
jp=kp
↓両辺からkpを引くと
jp-kp=0
(j-k)p=0
↓p>0だから
j-k=0
↓両辺にkを加えると
j=k
∴
f(j)=f(k)ならばj=kが成り立つ(1:1に決まる)から
fは単射

y∈Y
とすると
y=kp
1≦kp≦nとなる自然数kがある
1≦kp≦n
↓各辺をpで割ると
1/p≦k≦n/p
↓kは自然数だから
1≦k≦[n/p]
∴
k∈X
y=kp=f(k)
y=f(k)
∴
すべてのy∈Yに対してy=f(k)となるk∈Xがある時にfは全射という全射の定義から
fは全射である
∴
fは全単射
∴
|Y|=|X|
↓|X|=[n/p]
∴
|Y|=[n/p]
∴
n!の因数1,2,…,nの中のpの倍数は
[n/p]個ある
---------------------------------
(i)の証明
nを自然数
pを素数
s=[log_p(n)]
t=log_p(n)
とすると
対数の定義から
p^t=n
s=[t]

m≧k>s
となる任意の自然数m,kに対して
[t]=(t以下の最大の整数)だから
[t]≦t<[t]+1
s=[t]≦t<[t]+1=s+1
s≦t<s+1
s<kだから
s+1≦kだから
s≦t<s+1≦k≦m
t<k
だから
n=p^t<p^k
n<p^k
だから
n/p^k<1
だからs<k≦mの時
[n/p^k]=0
だから
∴
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
p^s≦n<p^(s+1)
n!=a(n)p^{r(n)}
a(n)とpは互いに素となる
非負整数a(n),r(n)がある
r=r(n)
をn!のp指数という

s=0
1=p^0≦n<p^(0+1)=p
の時
Σ_{k=1～s}[n/p^k]=Σ_{k=1～0}[n/p^k]=0…(1)
1≦n<p
でpは素数だから
1≦k≦n<p
となる整数kとpは互いに素だから
n!とpは互いに素だから
n!=(n!)p^0=a(n)p^{r(n)}
だから
n!=a(n)とpは互いに素となる
非負整数n!=a(n),0=r(n)がある
0=r(n)
をn!のp指数という
だから
r(n)=0となるから
↓これと(1)から
r(n)=0=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は成り立つ

s>0
に対して

p^(s-1)≦m<p^s
の時
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]…(仮定)
が成り立つと仮定する

p^s≦n<p^(s+1)
の時

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個
だから

m=[n/p]
とすると
p,2p,3p,…,[n/p]p
をかけあわせたものは
p,2p,3p,…,mp
をかけあわせたものとなり
Π_{k=1～m}kp=(m!)p^m
となる
n!の因数1,2,…,nの中で,
pの倍数でないものをかけあわせたものを
bとすると
n!=b(m!)p^m
となる
bとpは互いに素となる
自然数bがある

p^s≦n<p^(s+1)だから
↓各辺をpで割ると
p^(s-1)≦n/p<p^s
だから
p^(s-1)≦[n/p]<p^s
↓m=[n/p]だから
p^(s-1)≦m<p^s
↓(仮定)から
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
m!=a(m)p^{r(m)}
↓これをn!=b(m!)p^mに代入すると
n!=ba(m)p^{m+r(m)}
だから
a(n)=ba(m)
とすると
bとpは互いに素
a(m)とpは互いに素
だから
a(n)とpは互いに素

r(n)=m+r(m)
とすると
n!=a(n)p^{r(n)}
だから
a(n)とpは互いに素となる
非負整数a(n),r(n)がある
n!=a(n)p^{r(n)}だから
r(n)はn!の素因数として現れるpの個数に一致する
r(n)
をn!のp指数という

r(n)
=m+r(m)
=m+Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[[n/p]/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[n/p^(k+1)]
=[n/p]+Σ_{k=2～s}[n/p^k]
=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから
p^s≦n<p^(s+1)
の時
r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
が成り立つ
∴
n!のp指数
r=r(n)
に対して

r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

が成り立つ

回答No.6

muturajcp

a_m=-mにはなりません
取り消します
仮に
a_m=-m
とすれば
a_mは発散するといったのです

無限個あるのではありません
とにかく証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
lim_{m→∞}|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|=0
という意味なのです
mを限りなく大きくすると(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
という意味なのです
「
mを限りなく大きくすると
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
」
という言葉は曖昧非論理的なので
「
どんなにちいさな任意のε>0に対しても
ある大きな自然数n_0が存在して
m≧n_0となるすべての自然数mに対して
r-ε<Σ_{k=1～m}[n/p^k]<r+ε
となる
」
という言葉で定義するのです
その論理が理解できないのならば
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません

実際には
mを限りなく大きくしなくても
m=s=[log_p(n)]
とすれば

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]=r

となるのです
-------------------------------
(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

回答No.5

muturajcp

a_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r
a_m=-m
a_1=-1
a_2=-2
a_3=-3
a_4=-4
a_5=-5
a_6=-6
a_7=-7
a_8=-8
a_9=-9
a_10=-10
…
と発散
ε=1/10=0.1
とすると
絶対値は
|a_m|≧m>0.1=ε
だから
|a_m|<εでないから
収束しないけれども
絶対値をはずしてしまうと
a_m<a_1=-1<0<0.1=ε
a_m<ε
が成立するのです
a_m<ε
が成立する時に収束すると定義してしまうと
-∞に発散しているのに
0に収束することになってしまうのです

無限個あるのではありません
とにかく証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
lim_{m→∞}|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|=0
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
という意味なのです
「
mを限りなく大きくすると
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
」
という言葉は曖昧非論理的なので
「
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m≧n_0となる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
となる
」
という言葉で定義するのです
その論理が理解できないのならば
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません

実際には
mを限りなく大きくしなくても
m=s=[log_p(n)]
とすれば

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]=r

となるのです
-------------------------------
(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

補足

-∞に発散しているのに
0に収束することになってしまうのです
と言うのはなぜでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.4

muturajcp

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|と
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)
が混じっていても良いのです

0に近づくとは
9,8,7,6,5,4,3,2,1,0
という近づき方や
-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0
という近づき方や
9,-9,8,-8,7,-7,6,-6,5,-5,4,-4,3,-3,2,-2,1,-1,0
という近づき方
等があるのですが
どれも0に近づく事には変わりはないのです

ただし
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
の場合は
絶対値をはずしてしまうと
Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r<ε
-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0
の時
-9<0<ε
だから
0に近づいていないのに
第1項の-9ですでに収束している事になってしまうのです
だから
絶対値をはずしてはいけません
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
としなければなりません

lim_{m→∞}(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)=0
でも
lim_{m→∞}|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|=0
でも
どちらでもよいのです
Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r　が　0　に近づくことには変わりがないのです

mを限りなく大きくすると(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
でも
mを限りなく大きくすると|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
でも
どちらでもよいのです
Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r　が　0　に近づくことには変わりがないのです

(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
でも
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
でも
どちらでもよいのです
Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r　が　0　に近づくことには変わりがないのです

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
の場合は
-ε<Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r<ε
だから
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
でなければなりません

無限個あるのではありません
とにかく証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
lim_{m→∞}|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|=0
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
という意味なのです
「
mを限りなく大きくすると
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
」
という言葉は曖昧非論理的なので
「
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m≧n_0となる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
となる
」
という言葉で定義するのです
その論理が理解できないのならば
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません

実際には
mを限りなく大きくしなくても
m=s=[log_p(n)]
とすれば

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]=r

となるのです
-------------------------------
(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

補足

第1項の-9ですでに収束している事になってしまうのですとは、どういうことでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.3

muturajcp

m>n_0でもm≧n_0でもどちらでもよいです

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|でも
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)でも
どちらでもよいけれども

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
の場合は
-ε<Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r<ε
だから
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
でなければなりません

無限個あるのではありません
とにかく証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
lim_{m→∞}(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)=0
という意味なのです
mを限りなく大きくすると(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
という意味なのです
「
mを限りなく大きくすると
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
」
という言葉は曖昧非論理的なので
「
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m≧n_0となる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
となる
」
という言葉で定義するのです
その論理が理解できないのならば
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません

実際には
mを限りなく大きくしなくても
m=s=[log_p(n)]
とすれば

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]=r

となるのです
-------------------------------
(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

補足

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|と
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)
が混じっていますが、良いのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.2

muturajcp

無限個あるのではありません
とにかく証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
lim_{m→∞}|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|=0
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
という意味なのです
「
mを限りなく大きくすると
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は0に近づく
」
という言葉は曖昧非論理的なので
「
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n_0となる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
となる
」
という言葉で定義するのです
その論理が理解できないのならば
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません

実際には
mを限りなく大きくしなくても
m=s=[log_p(n)]
とすれば

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]=r

となるのです
-------------------------------
(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m>sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

お礼

なぜ、|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|のように絶対値をつけたのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

補足

なぜ、m>n_0なのでしょうか？≧ではだめなのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.1

muturajcp

あるrが存在して
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n_0となる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
となる
時に

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]

と定義するのです
だから

数列
a_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]
が
r
に収束する事を証明しなければ

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]

と書いてはいけないのです
-------------------------------
(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m>sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

補足

あるrが存在して
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n_0となる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
となる
時に

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]

と定義するのです
だから

数列
a_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]
が
r
に収束する事を証明しなければ

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]

と書いてはいけないのです
ここが分かりづらいです。もう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。