ルジャンドルの定理について。

質問

ルジャンドルの定理を証明していただけないでしょうか？無限個ある。という証明です。ご教授頂けると幸いです。すみませんが。
これで、無限個の説明が足りないと言われたのですが、どう証明すれば良いのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。もし、ルジャンドルの定理の証明が載っている本があれば教えていただけると助かります。

回答No.27

muturajcp · ベストアンサー

自然数nと
素数p
に対して
n!の因数1,2,…,nの中のpの倍数の集合を
Y={kp|1≦kp≦n,kは自然数}
とする
X={k|1≦k≦[n/p],kは自然数}
とすると
Xの要素数は|X|=[n/p]である
f:X→Y
f(k)=kp
と関数f(k)を定義する
{j,k}⊂X
f(j)=f(k)
とすると
jp=f(j)=f(k)=kp
jp=kp
↓両辺からkpを引くと
jp-kp=0
(j-k)p=0
↓p>0だから
j-k=0
↓両辺にkを加えると
j=k
∴
f(j)=f(k)ならばj=kが成り立つ(1:1に決まる)から
fは単射

y∈Y
とすると
y=kp
1≦kp≦nとなる自然数kがある
1≦kp≦n
↓各辺をpで割ると
1/p≦k≦n/p
↓kは自然数だから
1≦k≦[n/p]
∴
k∈X
y=kp=f(k)
y=f(k)
∴
すべてのy∈Yに対してy=f(k)となるk∈Xがある時にfは全射という全射の定義から
fは全射である
∴
fは全単射
∴
|Y|=|X|
↓|X|=[n/p]
∴
|Y|=[n/p]
∴
n!の因数1,2,…,nの中のpの倍数は
[n/p]個ある
---------------------------------
(i)の証明
nを自然数
pを素数
s=[log_p(n)]
t=log_p(n)
とすると
対数の定義から
p^t=n
s=[t]

m≧k>s
となる任意の自然数m,kに対して
[t]=(t以下の最大の整数)だから
[t]≦t<[t]+1
s=[t]≦t<[t]+1=s+1
s≦t<s+1
s<kだから
s+1≦kだから
s≦t<s+1≦k≦m
t<k
だから
n=p^t<p^k
n<p^k
だから
n/p^k<1
だからs<k≦mの時
[n/p^k]=0
だから
∴
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
p^s≦n<p^(s+1)
n!=a(n)p^{r(n)}
a(n)とpは互いに素となる
非負整数a(n),r(n)がある
r=r(n)
をn!のp指数という

s=0
1=p^0≦n<p^(0+1)=p
の時
Σ_{k=1～s}[n/p^k]=Σ_{k=1～0}[n/p^k]=0…(1)
1≦n<p
でpは素数だから
1≦k≦n<p
となる整数kとpは互いに素だから
n!とpは互いに素だから
n!=(n!)p^0=a(n)p^{r(n)}
だから
n!=a(n)とpは互いに素となる
非負整数n!=a(n),0=r(n)がある
0=r(n)
をn!のp指数という
だから
r(n)=0となるから
↓これと(1)から
r(n)=0=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は成り立つ

s>0
に対して

p^(s-1)≦m<p^s
の時
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]…(仮定)
が成り立つと仮定する

p^s≦n<p^(s+1)
の時

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個
だから

m=[n/p]
とすると
p,2p,3p,…,[n/p]p
をかけあわせたものは
p,2p,3p,…,mp
をかけあわせたものとなり
Π_{k=1～m}kp=(m!)p^m
となる
n!の因数1,2,…,nの中で,
pの倍数でないものをかけあわせたものを
bとすると
n!=b(m!)p^m
となる
bとpは互いに素となる
自然数bがある

p^s≦n<p^(s+1)だから
↓各辺をpで割ると
p^(s-1)≦n/p<p^s
だから
p^(s-1)≦[n/p]<p^s
↓m=[n/p]だから
p^(s-1)≦m<p^s
↓(仮定)から
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
m!=a(m)p^{r(m)}
↓これをn!=b(m!)p^mに代入すると
n!=ba(m)p^{m+r(m)}
だから
a(n)=ba(m)
とすると
bとpは互いに素
a(m)とpは互いに素
だから
a(n)とpは互いに素

r(n)=m+r(m)
とすると
n!=a(n)p^{r(n)}
だから
a(n)とpは互いに素となる
非負整数a(n),r(n)がある
n!=a(n)p^{r(n)}だから
r(n)はn!の素因数として現れるpの個数に一致する
r(n)
をn!のp指数という

r(n)
=m+r(m)
=m+Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[[n/p]/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[n/p^(k+1)]
=[n/p]+Σ_{k=2～s}[n/p^k]
=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから
p^s≦n<p^(s+1)
の時
r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
が成り立つ
∴
n!のp指数
r=r(n)
に対して

r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

が成り立つ

回答No.16

muturajcp

(i)の証明
nを自然数
pを素数
s=[log_p(n)]
t=log_p(n)
とすると
対数の定義から
p^t=n
s=[t]

m≧k>s
となる任意の自然数m,kに対して
[t]=(t以下の最大の整数)だから
[t]≦t<[t]+1
s=[t]≦t<[t]+1=s+1
s≦t<s+1
s<kだから
s+1≦kだから
s≦t<s+1≦k≦m
t<k
だから
n=p^t<p^k
n<p^k
だから
n/p^k<1
だからs<k≦mの時
[n/p^k]=0
だから
∴
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
p^s≦n<p^(s+1)
n!=a(n)p^{r(n)}
a(n)とpは互いに素となる
非負整数a(n),r(n)がある
r=r(n)
をn!のp指数という

s=0
1=p^0≦n<p^(0+1)=p
の時
Σ_{k=1～s}[n/p^k]=Σ_{k=1～0}[n/p^k]=0
1≦n<p
でpは素数だから
1≦k≦n<p
となる整数kとpは互いに素だから
n!とpは互いに素だから
n!=(n!)p^0
だから
r=0となるから
s=0
1≦n<pの時
r(n)=0=Σ_{k=1～0}[n/p^k]
は成り立つ

s>0
に対して

p^(s-1)≦m<p^s
の時
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]…(仮定)
が成り立つと仮定する

p^s≦n<p^(s+1)
の時
n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個だから
m=[n/p]
とすると
n!=b(m!)p^m
bとpは互いに素となる
自然数bがある

p^s≦n<p^(s+1)だから
↓各辺をpで割ると
p^(s-1)≦n/p<p^s
だから
p^(s-1)≦[n/p]<p^s
↓m=[n/p]だから
p^(s-1)≦m!<p^s
↓(仮定)から
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
m!=a(m)p^{r(m)}
↓これをn!=b(m!)p^mに代入すると
n!=ba(m)p^{m+r(m)}
だから
a(n)=ba(m)
とすると
bとpは互いに素
a(m)とpは互いに素
だから
a(n)とpは互いに素

r(n)=m+r(m)
とすると
n!=a(n)p^{r(n)}

r(n)
=m+r(m)
=m+Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[[n/p]/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[n/p^(k+1)]
=[n/p]+Σ_{k=2～s}[n/p^k]
=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから
p^s≦n<p^(s+1)
の時
r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
が成り立つ
∴
n!のp指数
r=r(n)
に対して

r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

が成り立つ

補足

p^(s-1)≦m<p^s
の時
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]…(仮定)
が成り立つと仮定する
なぜこのような仮定が成り立つと分かるのでしょうか？

p^s≦n<p^(s+1)
の時
n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個だから
m=[n/p]
とすると
n!=b(m!)p^m
bとpは互いに素となる
自然数bがある
n！の右辺が分かりません。
ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.15

muturajcp

(i)の証明
nを自然数
pを素数
s=[log_p(n)]
t=log_p(n)
とすると
対数の定義から
p^t=n
s=[t]

m≧k>s
となる任意の自然数m,kに対して
[t]=(t以下の最大の整数)だから
[t]≦t<[t]+1
s=[t]≦t<[t]+1=s+1
s≦t<s+1
s<kだから
s+1≦kだから
s≦t<s+1≦k≦m
t<k
だから
n=p^t<p^k
n<p^k
だから
n/p^k<1
だからs<k≦mの時
[n/p^k]=0
だから
∴
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
p^s≦n<p^(s+1)
n!=a(n)p^{r(n)}
a(n)とpは互いに素となる
非負整数a(n),r(n)がある
r=r(n)
をn!のp指数という

s=0
1=p^0≦n<p^(0+1)=p
の時
Σ_{k=1～s}[n/p^k]=Σ_{k=1～0}[n/p^k]=0
1≦n<p
でpは素数だから
1≦k≦n<p
となる整数kとpは互いに素だから
n!とpは互いに素だから
n!=(n!)p^0
だから
r=0
となるから
s=0
1≦n<pの時
r(n)=0=Σ_{k=1～0}[n/p^k]
n!=a(n)p^0
a(n)=n!とpは互いに素
は成り立つ

s>0
に対して

p^(s-1)≦m<p^s
の時
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
m!=a(m)p^{r(m)}
a(m)とpは互いに素
…(仮定)
が成り立つと仮定する

p^s≦n<p^(s+1)
の時
n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個だから
m=[n/p]
とすると
n!=b(m!)p^m
bとpは互いに素となる
自然数bがある

p^s≦n<p^(s+1)だから
↓各辺をpで割ると
p^(s-1)≦n/p<p^s
だから
p^(s-1)≦[n/p]<p^s
↓m=[n/p]だから
p^(s-1)≦m!<p^s
↓(仮定)から
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
m!=a(m)p^{r(m)}
↓これをn!=b(m!)p^mに代入すると
n!=ba(m)p^{m+r(m)}
だから
a(n)=ba(m)
とすると
bとpは互いに素
a(m)とpは互いに素
だから
a(n)とpは互いに素

r(n)=m+r(m)
とすると
n!=a(n)p^{r(n)}

r(n)
=m+r(m)
=m+Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[[n/p]/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[n/p^(k+1)]
=[n/p]+Σ_{k=2～s}[n/p^k]
=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから
p^s≦n<p^(s+1)
の時
r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
n!=a(n)p^{r(n)}
a(n)とpは互いに素
が成り立つ
∴
n!のp指数
r=r(n)
に対して

r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

が成り立つ

補足

n!=a(n)p^0
a(n)=n!とpは互いに素
は成り立つ

s>0
に対して

p^(s-1)≦m<p^s
の時
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
m!=a(m)p^{r(m)}
a(m)とpは互いに素
…(仮定)
が成り立つと仮定する

p^s≦n<p^(s+1)
の時
n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個だから
m=[n/p]
とすると
n!=b(m!)p^m
bとpは互いに素となる
自然数bがある

p^s≦n<p^(s+1)だから
↓各辺をpで割ると
p^(s-1)≦n/p<p^s
だから
p^(s-1)≦[n/p]<p^s
↓m=[n/p]だから
p^(s-1)≦m!<p^s
↓(仮定)から
r(m)=Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
m!=a(m)p^{r(m)}
↓これをn!=b(m!)p^mに代入すると
n!=ba(m)p^{m+r(m)}
だから
a(n)=ba(m)
とすると
bとpは互いに素
a(m)とpは互いに素
だから
a(n)とpは互いに素

r(n)=m+r(m)
とすると
n!=a(n)p^{r(n)}

r(n)
=m+r(m)
=m+Σ_{k=1～s-1}[m/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[[n/p]/p^k]
=[n/p]+Σ_{k=1～s-1}[n/p^(k+1)]
=[n/p]+Σ_{k=2～s}[n/p^k]
=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから
p^s≦n<p^(s+1)
の時
r(n)=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
n!=a(n)p^{r(n)}
a(n)とpは互いに素
が成り立つ
∴
n!のp指数
r=r(n)
に対して

r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

が成り立つ

回答No.14

muturajcp

[
「
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
」と、
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
]
が理解できないのなら

(i)の証明で
m>sの時
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すれば
不要な
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明する必要はないのです

以下
(i)の証明から
不要な
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
の
証明を除きます
-------------------------------------
(対数の定義)
p^t=n
となる時
t=log_p(n)
と定義する

(ガウス記号の定義)
[t]=(t以下の最大の整数)
と定義する

(i)の証明
s=[log_p(n)]
t=log_p(n)
とすると
対数の定義から
p^t=n
s=[t]

m≧k>s
となる任意の自然数m,kに対して
[t]=(t以下の最大の整数)だから
[t]≦t<[t]+1
s=[t]≦t<[t]+1=s+1
s≦t<s+1
s<kだから
s+1≦kだから
s≦t<s+1≦k≦m
t<k
だから
n=p^t<p^k
n<p^k
だから
n/p^k<1
だからs<k≦mの時
[n/p^k]=0
だから
∴
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

その後の
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]の証明は以下の通り

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

補足

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
ここの［n/p］個あることと、n！の素因数として現れるpの個数に一致するとはどう言う事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。

回答No.13

muturajcp

必ずしも大きくなるわけでもないとは
0に近づく限りは
どんな近づき方をしてもよいという事なのです

(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
m≧k>s
となる任意の自然数m,kに対して
[log_p(n)]=s≦log_p(n)<k≦m
だから
n<p^k
だから
n/p^k<1
だからs<k≦mの時
[n/p^k]=0
だから
∴
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから

任意のε>0に対して
s=[log_p(n)]
とすると
m>sとなる任意の自然数mに対して
Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
だから
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|=0<ε
となる
から
極限の定義から
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
となるのです

その後の
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]の証明は以下の通り

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

補足

「
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
」と、
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
が分かりません。ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.12

muturajcp

「
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は(大きくなり)0に近づく
」
と書いたのは、
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は(小さくなり)0に近づく
と
結局0に近づくことには変わりがない
同じ意味なのだけれども
途中は違うのだという事を明確にするために
(大きくなり)
と書いたのであって
必ずしも大きくなるわけでもありません
「
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
」
という表現は曖昧非論理的なので証明には値しないので
論理的な
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m≧n_0となる任意の自然数mに対して
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|<ε
となる事を
以下(i)の証明で
証明しているのです

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
の証明は

s=[log_p(n)]
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

を証明したことになるのです
その後
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明しています
これは、
以下の
(i)の証明に書かれています
(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

お礼

必ずしも大きくなるわけでもありませんとはどう言う事でしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

補足

「
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は(大きくなり)0に近づく
」
と書いたのは、
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は(小さくなり)0に近づく
と
結局0に近づくことには変わりがない
同じ意味なのだけれども
途中は違うのだという事を明確にするために
(大きくなり)
と書いたのであって
必ずしも大きくなるわけでもありません
「
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
」と、
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
が分かりません。ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.11

muturajcp

(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)
は絶対値ではありません
絶対値を付けない
(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は(大きくなり)0に近づく
と
絶対値をつけた
|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|は(小さくなり)0に近づく
は
どちらも0に近づく
同じ意味になるのです

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
の証明は

s=[log_p(n)]
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

を証明したことになるのです
その後
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明しています

(i)の証明
s=[log_p(n)]
とする
k>s
となる整数kに対しては
s≦log_p(n)<s+1≦k
だから
p^s≦n<p^(s+1)≦p^k
n<p^k
n/p^k<1
[n/p^k]=0
だから

任意のε>0に対して
自然数
s=[log_p(n)]
が存在して
m≧sとなる任意の自然数mに対して

|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-Σ_{k=1～s}[n/p^k]|
=|Σ_{k=s+1～m}[n/p^k]|
↓k>sとなる整数kに対しては[n/p^k]=0だから
=0
<ε

となるから
∴
Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

n!を素数pで割ったとき,ちょうどp^rで割り切れる
(それ以上の累乗では割り切れない)時
rをn!のp指数という

n!の因数1,2,…,nの中で,pの倍数は
p,2p,3p,…,[n/p]p
の[n/p]個である.
また.p^2の倍数は
p^2,2p^2,3p^2,…[n/p^2]p^2
の[n/p^2]個である
一般にp^kの倍数は
p^k,2p^k,3p^k,…[n/p^k]p^k
の[n/p^k]個である
すべての
k(1≦k≦s)について
[n/p^k]を加えると
n!の因数でp指数がkとなるものについては
ちょうどk回重複して数えることになって
Σ_{k=1～s}[n/p^k]
は
n!の素因数として現れるpの個数に一致する
から
これはn!のp指数であるから
∴
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

s=[log_p(n)]
だから
s≦log_p(n)<s+1
だから
∴
p^s≦n<p^(s+1)

補足

(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は(大きくなり)0に近づくとと、r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
の証明は

s=[log_p(n)]
m≧sとなる任意の自然数mに対して

Σ_{k=1～m}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明すると

Σ_{k=1～∞}[n/p^k]=Σ_{k=1～s}[n/p^k]

を証明したことになるのです
その後
r=Σ_{k=1～s}[n/p^k]
を
証明しています
ここの証明はどこでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.10

muturajcp

「
なぜ、|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|のように絶対値をつけたのでしょうか？
」
という質問に答えたつもりなのですが、まだ理解できていないようなので

証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
という意味なのです
b_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r
とすると
mを限りなく大きくすると b_m は0に近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|b_m|は小さくなり0に近づく
という意味なのです
|b_m|が小さくなるのであって
b_mが小さくなるのではありません

例)
n=17
p=2
とすると

[n/p]=[17/2]=8
[n/p^2]=[17/2^2]=4
[n/p^3]=[17/2^3]=2
[n/p^4]=[17/2^4]=1
r=[17/2]+[17/2^2]+[17/2^3]+[17/2^4]=8+4+2+1=15

b_1=[17/2]-15=8-15=-7
b_2=[17/2]+[17/2^2]-15=8+4-15=-3
b_3=[17/2]+[17/2^2]+[17/2^3]-15=8+4+2-15=-1
b_4=[17/2]+[17/2^2]+[17/2^3]+[17/2^4]-15=8+4+2+1-15=0

|b_1|=7>3=|b_2|>1=|b_3|>0=|b_4|
|b_1|>|b_2|>|b_3|>|b_4|
だから|b_m|は小さくなるけれども

b_1=-7<-3=b_2<-1=b_3<0=b_4
b_1<b_2<b_3<b_4
だから
b_mが小さくなるのではありません

だから
絶対値が必要なのです

お礼

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]の証明は、一体どうなるのでしょうか？今までの中で、証明されているのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

補足

(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は、絶対値のつもりでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.9

muturajcp

「
なぜ、|Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r|のように絶対値をつけたのでしょうか？
」
という質問に答えたつもりなのですが、まだ理解できていないようなので

証明なしに
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
と書いてはいけません
r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
は
r=lim_{m→∞}Σ_{k=1～m}[n/p^k]
という意味なのです
mを限りなく大きくするとΣ_{k=1～m}[n/p^k]はrに近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると(Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r)は0に近づく
という意味なのです
b_m=Σ_{k=1～m}[n/p^k]-r
とすると
mを限りなく大きくすると b_m は0に近づく
という意味なのです
mを限りなく大きくすると|b_m|は小さくなり0に近づく
という意味なのです
|b_m|が小さくなるのであって
b_mが小さくなるのではありません
だから
絶対値が必要なのです

回答No.8

muturajcp

r=Σ{k=1～∞}[n/p^k]
に関係無い
一般的な
数列
{a(m)}_{m∈N}
に対して
lim{m→∞}a(m)=0
の
定義は
「
任意のε>0に対して
ある自然数n0が存在して
m≧n0となる任意の自然数mに対して
｜a(m)｜<ε
となる
」
時に
a(m)は0に収束するというのです

この絶対値を外して
「
任意のε>0に対して
ある自然数n0が存在して
m≧n0となる任意の自然数mに対して
a(m)<ε
となる
」
時に
a(m)は0に収束するという事に
してしまうと

a(m)=-m
の時
a(m)=-mは-∞に発散しているのに

a(m)=-m<ε
だから
0に収束する事になってしまうのです
だから
絶対値は外してはいけません

補足

これは、（i)の最初の但し書きに繋がって来ると言うことですね？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.7

muturajcp

r=Σ_{k=1～∞}[n/p^k]
に関係無い
一般的な
数列
{a_m}_{m∈N}
に対して

lim_{m→∞}a_m=0
の
定義は
「
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n_0となる任意の自然数mに対して
|a_m|<ε
となる
」
時に
a_mは0に収束するというのです

この絶対値を外して
「
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n_0となる任意の自然数mに対して
a_m<ε
となる
」
時に
a_mは0に収束するという事に
してしまうと
-∞に発散しているのに0に収束してしまうのです
だから
絶対値は外してはいけません

補足

lim_{m→∞}a_m=0
の
定義は
「
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n_0となる任意の自然数mに対して
|a_m|<ε
となる
」
時に
a_mは0に収束するというのです

この絶対値を外して
「
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n_0となる任意の自然数mに対して
a_m<ε
となる
」
時に
a_mは0に収束するという事に
してしまうと
-∞に発散しているのに0に収束してしまうのです
だから
絶対値は外してはいけません
ここをもう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。