分度器の1度について

質問

分度器の1度は円周を360等分すれば得られるのは分かるのですが、
どのようにして360等分するのですか？
1度をコンパスと定規だけを使い、有限回の手数で求めることはできますか？

回答No.2

staratras

近似的な1度の作図でよければもっと簡単な方法があります。中心をOとする半径57の円を描き、その円周上に1点Pを取ってこのPを中心に半径1の小円を描いて元の大円との交点の一つをQとします。∠POQ≒1.005202…（度）です。

x^2+y^2=57^2,(x-57)^2+y^2=1 を解くとx=6497/114、y=√12995/114　となり
tan∠POQ=√12995/6497≒0.01754588…がtan1度≒0.01745506…に極めて近いからです。

お礼

回答ありがとうございます。

簡単な数値での作図なのに、高精度でビックリです。
文房具の分度器なら十分ですね
でも、何億光年もの距離や角度を測る天文台の望遠鏡と連動する角度の測定器では、精度が足りないと思います。
もっと、精度の高い作図法はありますか？

回答No.1

staratras

工場で分度器の原型を作る際に目盛りを刻む方法は知りません。以下は数学的（幾何的）な回答です。

＞1度をコンパスと定規だけを使い、有限回の手数で求めることはできますか？

これが「作図題のルールに従う」意味であれば「できません」。作図題のルールで作図可能な最小の整数の角は3度で、角の3等分は不可能だからです。

ただし、「定規に目盛りを付けることを許す」なら、角の3等分が可能なので「できます」。下の図がそのやり方です。∠ABCが与えられた角で、3度では図が見にくいので30度にしています。ここで定規に円の半径ｒの目盛りを付けて、QPが円の半径ｒと等しくなるようにBQを引きます。すると三角形PQOと三角形OPBはどちらも2等辺三角形になるので、「三角形の外角は内対角の和に等しい」定理を2回使えば、図のように∠OQBは∠AOBの3分の1になってくれることがわかります。

なお3度を作図するには、複数の方法が考えられますが、18度と15度の差で作ることもできます、18度は作図題のルールで作図可能な正5角形の外角72度を2回2等分することで得られ、15度は正3角形の内角を2回2等分することで得られます。

お礼

回答ありがとうございます。

一度の作図が「角の三等分」の派生問題になっているのですね。「最も短手順の”一度”の作図コンテスト」なんてものがあれば楽しいな
整数にこだわっていたピタゴラス派の数学者たちが、円周を360度として、その作図になんの疑問もなかったのでしょうか？不思議な気がします