運動の第1法則は必要なのか

質問

古典力学の学習をしており、運動の3法則について疑問を持ったため、質問させていただきます。

【質問】運動の第1法則(慣性の法則)は、なぜ必要なのでしょうか?

以下、運動の第1法則(慣性の法則)が必要ないと思える理由を記載します。

まず、慣性の法則は運動の第2法則(運動の法則)から導くことができます。
ma=Fという式に対し、F=0を代入すれば、a=0となるので、物体は等速直線運動をするという考えです。

しかし、同じ考えを皆持つようで、「それを踏まえた上でも、やはり第1法則は必要だ」と、ネットや本で調べると書いてあります。
その理由は、「第1法則は、第2法則と第3法則が成り立つための前提条件を提示したものである」とのことでした。

ところが、この主張もおかしい気がします。なぜなら、慣性の法則が成り立つからと言って、運動方程式が成り立つとは言い切れないと思うからです。
慣性の法則の内容は、
「すべての物体は、外部から力を加えられない限り、静止している物体は静止状態を続け、運動している物体は等速直線運動を続ける」とのことです。(Wikipediaから引用)
しかしこれは、外部から力を加えられない場合について述べたものにすぎず、これを前提条件としたからと言って運動方程式が成り立つ保証はできないと思うのです。

次のような反例を考えてみました。
「1次元座標系Xと、同じく1次元座標系Qとがある。Xは慣性系(慣性の法則が成り立つ系)である。X内に物体Aがあり、それに対して力F(t)を加える。Qは時間に応じてXに対して変移する座標系であり、X上の点をx、Q上の点をqとすると、
q=x+F(t)
の関係にあるとする。(つまり、QはAにかかっている力の分だけ変異する座標系です。)
Aに力を加えないとき、F(t)=0なので、q=x+F(t)よりQはXと一致している。したがってQ上で見てもAは静止または等速直線運動をしている。(Q上に他の物体があればそれも静止または等速直線運動をしている)
「外部から力を加えられない限り、静止している物体は静止状態を続け、運動している物体は等速直線運動を続ける」という慣性系の定義に従えば、Qは慣性系である。
しかし、AにもしもF(t)=t^2という力を加えると、q=x+F(t)より、QはXに対して加速度運動をする。したがって、Q上で運動方程式は成り立たない。この場合、Qは慣性系なのに、運動方程式が成り立たない系である。」

このような特殊なケースを考えているのが屁理屈なのでしょうか?
しかし、仮に第1法則が第2法則の成り立つ前提として必要十分であったとしても、それだとますます第1法則が必要な理由が分かりません。
同値な2つの法則が書かれていることになると思うのですが意味があるのでしょうか?

以上、長くて申し訳ありません。よろしくお願いいたします。
読んでくださりありがとうございます。

回答No.3

eatern27b · ベストアンサー

昔どの本で見た表現か忘れましたが、
慣性系が少なくとも1つは存在している事を第一法則が保証している、という言い方がしっくりくるかもしれませんね。(物理というよりは数学的な側面からの言い方ではありますが)

> ma=Fという式に対し、F=0を代入すれば、a=0となる
非慣性系のようなma=Fの式が成り立たない座標系も現に存在している以上、ma=Fの式を使うためにはこの式が成り立っているという事、つまり、貴方が考えている座標系が慣性系なのかという事を事前に確かめる必要があります。貴方の認識では何を判断の基準にすれば良いとお考えですか？
ニュートン力学では第一法則が成り立っている座標系であるかどうかが判断基準になります。

> 外部から力を加えられない場合について述べたものにすぎず、これを前提条件としたからと言って運動方程式が成り立つ保証はできないと思うのです
それを保証しているのが第二法則です。というか第一法則からma=Fが導出できないからこそ、第二法則を(第一法則とは別に)置いているんです。

> 次のような反例を考えてみました。
どんな座標系かよく理解できませんが、いずれにしても座標系Qが慣性系である事の確認として、物体Aしか観察しないのは不十分です。
例えば物体Aには力は働いているけれども、物体Bには働いていないという状況で、座標系Qにおいて物理Bがどう運動するのかを考えるのが良いでしょう。

お礼

大変詳しいご回答ありがとうございます。

>慣性系が少なくとも1つは存在している事を第一法則が保証している
この解釈は腑に落ちます。ありがとうございます。

>貴方の認識では何を判断の基準にすれば良いとお考えですか？
ニュートンの気持ちになって考えてみると、「ma=Fが成り立つ(ことがわかっている)座標系に対して、静止または等速度運動している座標系」でしょうか??
(つまり第2法則を判定条件としても使う)
頓珍漢なこと言っていたらすみません。

>ニュートン力学では第一法則が成り立っている座標系であるかどうかが判断基準になります。
それだと、第1法則からma=Fが導出できなくてはおかしいのではないかと思えるのですが、なぜ導出ができないのでしょうか?
実際の物理現象の範囲だと第1法則で判断しても問題とはならないということでしょうか??

>例えば物体Aには力は働いているけれども、物体Bには働いていないという状況で、座標系Qにおいて物理Bがどう運動するのかを考えるのが良いでしょう。
ありがとうございます。一応、物体Bについてもma=Fが成り立たないよう考えました。しかしこんな変な座標系を考えてよいのか不安になってきました。

補足

すみません。
>例えば物体Aには力は働いているけれども、物体Bには働いていないという状況で、座標系Qにおいて物体Bがどう運動するのか
これについて、物体Aに力が働いているとき、物体Bには外力が働かなくても、物体Bは加速運動してしまうということに気づきました。したがってQは慣性系ではありません。仰る通りでした。私の反例は不適切です。

回答No.2

QCD2001

https://eman-physics.net/dynamics/newton.html

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご掲載のページを拝読したところ、第2法則は「既知の力から物体の動きを知ることができる式」ではなく「加速度による力Fの定義式」であるとの内容があり、なるほどと思いました。
慣性系で見た場合だけ力の定義式ma=Fが使えます、という理屈であれば、第1法則が前提条件になっているという文言がしっくりきます。

回答No.1

tetsumyi

基本的に論理的な考え方ができていません。
第1法則は、第2法則と第3法則が成り立つための前提条件
慣性の法則が成り立つからと言って、運動方程式が成り立つとは言い切れない
論理的な矛盾は全くありませんし、当たり前です。
第1法則を前提としてとして運動方程式ができるのであって、第1法則から運動方程式が導かれるのではありません。
物理は数学ではありません。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
内容につきまして、ニュートンが法則を立てるときに、第1法則が成り立つことを仮定して、その上で、第2法則と第3法則を見出し、立てた。第1法則はニュートンの思考の足掛かりに過ぎない、ということと解釈いたしました。
数学的な法則として洗練されてはいないが、矛盾はないと。
勉強になります。ありがとうございます。