大学の集合の問題

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回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

例えば、小数第一位が2でない実数は、 [0.0, 0.1]∪[0.1,0.2]∪[0.3,0.4]∪[0.5, 0.6]∪[0.6,0.7]∪ ... ∪[0.9,1]に属する。外測度の定義では、[ )の形で覆う、と一般に定義してあるので、小数第一位が2でない実数は、 [0.0, 0.11)∪[0.1, 0.21)∪[0.3,0.41)∪[0.5, 0.61)∪[0.6,0.71)∪ ... ∪[0.9,1.1)に属する、としておく。これらの区間の体積の合計は、0.11 * 9 = 0.99である。

更に例えば小数第一位が3で、小数第二位が2でない実数は、[0.30, 0.311)∪[0.31, 0.321)∪[0.33, 0.341)∪ ... ∪[0.39, 0.401)に属する。これらの区間体積の合計は、0.1 * 1.1 * 9 = 0.1 * 0.99である。小数第二位「まで」が2でない実数を考えると、小数第一位のとる場合は、0,1,3,4,5,6,7,8,9の9通りである故、小数第二位「まで」が2でない実数全体は、体積の合計が(9 * 0.1) * 0.99の区間で覆われる。

一般に、任意の0以上9以下の自然数mに対し、小数第N位までｍが現れない、[0,1]に属する実数全体は、体積の合計が0.99 * (0.9^(N-1)) = 1.1 * (0.9^N) の区間で覆われる。従って、小数第N位までにある数字が全く出てこない、[0,1]に属する実数全体は、体積の合計が 10 * 1.1 * (0.9^N)の区間で覆われる。N→∞の時、 10 * 1.1 * (0.9^N)→0である故、10進展開したときある数字が全く現れない、[0,1]に属する実数全体の外測度は0となる。