特殊相対性理論の時間遅れ

質問

コンビニで相対性理論を解説した本を買いました。特殊相対性理論で時間遅れを説明する際に、光時計を電車に縦に置いて説明してます。Tb=Ta*(1-v**2/c**2)**1/2
しかし、光時計を横に置いたら時間遅れが違う結果になると思うのですが。
縦に置くのはなぜでしょうか？
ちなみに、光時計とは光を走らせて時間を計る時計です。３０万キロ走らせて、１秒を測ります。

回答No.6

veryyoung · ベストアンサー

光時計を横（前後方向）に置くと「ローレンツ収縮（短縮）」を加味して説明しなくてはなりません。運動物体の進行方向長さが縮む現象です。しかもその短縮率自体が、ご提示の時間関係式依存です。いきなり横に置いたのでは根源となる時間関係式が分離、導出できないのです。

ローレンツ収縮を考慮すれば、横でも光時計の遅れに違いはありません。確かめてみましょう。発光源と鏡の距離 Lの光時計を前後向きで電車に置きます。ご提示の式の添字に合わせ、電車内で Lb = L ですが、外から見た長さ La は L にはなりません。
光の前後往復の時間比較を行ってみます。往復させる真意は平均の為ではありません。運動する物体の異なる位置は外から見て異なる時刻になります。同位置に帰還させれば煩雑な計算が省略できるからです。さて、往復時間は、
電車内で　： Tb = 2 * Lb / c
外から見て： Ta = La /(c - v) + La /(c + v) = 2 * La * c / (c**2 - v**2)
従って、Tb / Ta = ( Lb / La ) * ( 1 - v**2 / c**2 )
これに、ローレンツ収縮式：La = Lb*( 1 - v**2 / c**2 )**1/2
を代入すれば、ご提示の式：
Tb=Ta*(1-v**2/c**2)**1/2
と一致します。
上記ローレンツ収縮も時間関係式から算出されます。電車先頭がトンネルを通過する時間を考えます。所要時間はご提示の Tb=Ta*(1-v**2/c**2)**1/2　に従います。電車系から見てもトンネル系から見ても相対速度は等しく v ですから、所要時間の違いはトンネルの長さの見え方の違いとしてしか説明できません。電車基準に動いているトンネルは短くなっているのです。同様にトンネル基準に動いている電車は同比率で短くなります。
La = Lb * ( 1 - v**2/c**2)**1/2　のように。
不可解な点あれば、お気軽にどうぞ。

回答No.5

Mathmi

No.3です。ごめんなさい、間違いました。

＞反射する時間及び受光する時間は変わりません。
実際に書いてみたら、これは大嘘でした。
受光する時間は同じですが、反射する時間は違いました。

ローレンツ変換したグラフを添付します。横軸は時間t、縦軸はXもしくはY軸です。

仮に電車がv=0.8cで動くとした場合、外から見ると、t=0で発光器から出た光は前に置かれた受光器にt=0.333……に到達し、上に置かれた受光器にはt=1.666……に到達するように見えます。
そして、前に置かれた受光器から反射した光はt=3.333……に発光器に戻り、上に置かれた受光器から反射した光もt=3.333……に発光器に戻ります。

回答No.4

Mathmi

多分、説明を簡単にする為に色々な誤魔化しが入っているのではないでしょうか。

＞光時計は下に発光器を、上に受光器を持ちます。光が３０万キロ動き、上の受光器に届くと、１秒経過と判定します。

　時計の原理としては、これでは疑問があります。なぜなら上の受光器は、下の発光器からいつ光が発せられたのか、という情報を持たないからです。
　なので時計として機能する為には、No2の方がおっしゃっているように、下の発光器から放たれた光が上の鏡で跳ね返り、下の発光器に到達する必要がある筈です。

＞光時計を電車の進行方向と平行に(中略)電車内の時間が早くなる。

　上記のように、転記して頂いたその本の説明の仕方が微妙ですね。

　ローレンツ変換の図を描いてみると分かりやすいですが、発光器/受光器と鏡が、電車の上下に置かれていようと前後に置かれていようと、反射する時間及び受光する時間は変わりません。
　ですが、上下に置いた場合幾何的に一目で理解しやすいので、説明する場合は一般的に上下に置きます。

回答No.3

tetsumyi

横に置くとドップラー効果で時間遅れが観測できないから縦に置きます。
また光が縦に進む場合に横に置いても光そのものが観測できない。
あくまでも光の速度より相当遅い速度で電車が走っている前提ですが。

回答No.2

nihonsumire

下にセンサーがあって、上に鏡があるような円筒形の光時計でしょうか。光が上下に動くことにより、電車の外から見ると、上下運動が波として観察できるという意味かと思います。
　縦でも横でも、波として観察できるなら、どちら向きでも構わないと思うのですが。

お礼

応答して戴き、ありがとうございます。私の質問を補足説明します。
　光時計は下に発光器を、上に受光器を持ちます。光が３０万キロ動き、上の受光器に届くと、１秒経過と判定します。
　今、電車が定速で移動してます。電車内に光時計を進行方向に垂直に置きます。電車外から見ると、光時計も電車と移動するので、光は下から斜めに進みます。一方、電車内から見ると光は下から真上に進みます。このとき、斜めの方が真上より光が進む距離が長い。また、光速は一定です。従って、電車外から見ると、電車内の時間が遅れる。
　上記が本の説明でした。光時計を電車の進行方向と平行に、光の向きを電車の進行方向と反対に置くと、電車外から見ると光が進む距離が短くなります。その結果、電車外から見ると、電車内の時間が早くなる。ように思えます。どこが間違ってますか？
投稿日時：2020/05/26 21:34

補足

応答して戴き、ありがとうございます。私の質問を補足説明します。
　光時計は下に発光器を、上に受光器を持ちます。光が３０万キロ動き、上の受光器に届くと、１秒経過と判定します。
　今、電車が定速で移動してます。電車内に光時計を進行方向に垂直に置きます。電車外から見ると、光時計も電車と移動するので、光は下から斜めに進みます。一方、電車内から見ると光は下から真上に進みます。このとき、斜めの方が真上より光が進む距離が長い。また、光速は一定です。従って、電車外から見ると、電車内の時間が遅れる。
　上記が本の説明でした。光時計を電車の進行方向と平行に、光の向きを電車の進行方向と反対に置くと、電車外から見ると光が進む距離が短くなります。その結果、電車外から見ると、電車内の時間が早くなる。ように思えます。どこが間違ってますか？

回答No.1

gennya

特殊そうたいせいりろんは特殊な場合のためです