問13のふたつの不等式をとくところまではできたので

質問

問13のふたつの不等式をとくところまではできたのですが、その後の2つの問題の解き方が分かりません。教えてください。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

（１）が抜けていました。御免。

(1)の解は 5<x<9
(2)の解は -k+3<x<k+3

（１）(1)，(2)を共に満たす実数xが存在するには（つまり(1)(2)の解で「重なる」部分があるには），数直線上で４つの実数が次のように並ぶことが必要十分です。

　　　-k+3　　　5　　　k+3　　　9
　または
　　　5　　　-k+3　　　k+3　　　9
　または
　　　5　　　-k+3　　　9　　　　k+3
　または
　　　-k+3　　　5　　　9　　　k+3

これらから求まったkの範囲を合わせた範囲（和集合）が求めるkの値の範囲です。
でも手間がかかりすぎます。そこで裏から攻めます。

(1)(2)を共に満たす実数xが「存在しない」ようなkの値の範囲を求めて，それ以外の範囲（補集合）が求めるkの範囲であるという考え方です。こちらの解法が作業量が半分になります。
(1)(2)を共に満たす実数xが存在しないための条件は，数直線上に４つの実数が次のように並ぶことです。
　　　-k+3　　　k+3　　　5　　　9
または
　　　　5　　　　9　　　-k+3　　　k+3
つまり，
　k+3<=5　または　9<=-k+3　　（不等式の解に端点が含まれないので）
k<=2 または　k<=-6
∴ k<=2
これ以外の範囲であるから求めるkの範囲は
　k>2

お礼

回答ありがとうございました！おかげで解決しました。

回答No.3

tmppassenger

解答そのものは他の人に任せますが、なんというか、解答したあとでチェックしたい点というか、そういうのを書いておきます。

A.
この問題において、例えばx=7は明らかに「◯1」を満たすので、少なくとも「◯1」を満たすxは存在します。そうすると、仮に(2)において、『あるkの値の時に』 「◯1」の解が「◯2」の解に含まれるのであれば、「◯1」を満たすxは「◯2」を満たすのであるから、当然 「◯1」と「◯2」を共に満たすxが存在することになります。

これはつまり、(2)を満たすkは、(1)も満たす、という意味です。従って、例えば (2)に含まれるkの中で (1)に含まれないようなものがあれば、その段階で何らかの間違いをしている、という事です。

B.
もう一点は、直観的に、『 |x-3|<k 』 という不等式は、kの値が大きければ大きいほど解の範囲が大きくなるのは、直観的に分かると思います。つまり、kの値が大きければ大きいほど、(1)も(2)も満たしやすくなる、という事です。なので、実際の解答もそうなっているはずです。

お礼

回答ありがとうございました！とても分かりやすかったです。

回答No.1

kiha181-tubasa

(1)の解は 5<x<9
(2)の解は -k+3<x<k+3

（２）(1)の解が(2)の解に含まれるするためには，数直線上で４つの実数が次のように並ぶことが必要十分です。

　　　-k+3　　　5　　　9　　　k+3

したがって
　　　-k+3<=5　かつ　9<=k+3　……（*）　
　　　-k<=2　かつ　6<=k
　　　k>=-2　かつ　6<=k
　　　∴-2<=k<=6

（補足）
　(1)(2)の解がともに不等号に等号がついていませんので，-k+3と5，9とk+3が重なってもよいので，（*）のように等号が入ってきます。
　このように等号がついているかいないかで解答に等号がつくか否かが変わってきます。数直線を書いて考えることが重要です。
　例：(1)の解が 5<=x<=9と等号がついている場合は（*）は
　　　-k+3<5　かつ　9<k+3
のようになります。

お礼

回答ありがとうございました。おかげで解決しました。