立方根(3乗根）を求めることも、広く言えば、x^3-a=0という3次方程式を解いていることになりますので、日常生活の中で「無意識のうちに必要となっている（一部の人は意識して使っている）」と言えるかもしれません。
例えば、ハンバーグを作っているとき、「形を変えずに（相似形で）量を2倍にしたい」場合どうしますか。もちろん「はかり」があれば簡単で重さを2倍にすれば済みますが、そうしたものがない場合です。
慎重な「主婦」なら、同じ小さい形のハンバーグを2個作って合体させたあとで整形して元の小さな形と相似形の「2倍ハンバーグ」を作るかもしれませんが、おおざっぱな「主夫」はそんな面倒なことはせず、目分量で縦・横・高さがそれぞれ、小さなハンバーグの5/4倍（2割5分増し）くらいのハンバーグを作るのではないでしょうか。
一部の人はもちろん2の立方根が1.25に近い（1.2599…）ことを知っている、つまりx^3-2=0を解いているからであり、そうでない多くの人も「そのくらいの大きさにすれば量が2倍になる」ことを経験上（無意識のうちに）感じているからではないかと思います。
回答者が仕事に関連して、立方根を求める単純な開立計算以外の、文字通りの3次方程式を解く必要が生じたと記憶しているのは、彗星の軌道模型を作った際です。
お礼
内容が非常に高度なお話でした。くりかえし読ませていただき勉強させていただきます。