無理数を指定するには無限大の情報が必要なのですか？

質問

これは、情報量についての簡単（？）な質問です。

御承知の如く、或る有限の桁の暗証番号を指定するには、
有限の情報量で済みます。では、無理数を指定するには、
無限に多くの桁を指定しなければならないため、
「無限大」の情報量が必要になるのですか。　

例えば、円周率を指定するにも、自然対数の底「e」を
指定するにも、無限大の情報量が必要となると、
記憶や伝送のための容量も不足する、いや、「不可能」
となるのは当然となります。　

ところが、実際には、円周率の値の記憶にも伝送にも、
そういう問題が起きた例などは聞いたことが有りません。

素人的な予想としては、情報には階層が有るために、
円周率や「e」の指定には、全ての桁の指定ではなく、
有限回の演算の指定だけで済むのではないかと存じます。
但し、有限回という意味は無限級数の総和も有限回の
演算として数えなければなりませんが。　

或いは、情報のパターン認識が関わってるのでしょうか。

この疑問について、どなたかお暇なときにでも、
御回答頂ければ幸いです。

回答No.6

tgb · ベストアンサー

無理数を有限な情報で記述できるもの(無理数a)とそうでないもの(無理数b)に分類して考えると、
問題は
「無理数bが存在する」
と言えるかどうかと言うことになります。

　πやeについては数字列で表示しようとすると無限の文字列になりますが、
円周率、円の周長と半径の比
ネイピア数、nが∞の時の(1+1/n)＾nの極限値
のように同一の内容(数)を有限の情報で記述できる場合もあります。
　そこで無理数bが存在するのかしないのか決着をつけたいわけですが、結論からすると
存在するようです。完全な証明にはなっていませんが以下のように考えられます。

　数を特定する(定義する)ために必要な文字も含めあらゆる文字を用意します(安全のためと余分なものがあっても結果に影響しないと見込まれるので余分な文字も含めてしまいます)。これらの文字の総数は当然有限の数になります。これらの文字を使用して文字列を作ります。１文字から成る文字列から初めて∞の文字数に向かって残らず列挙していきます。同じ数の文字数からなる文字列に対しては適当な並び順の規則を設けて漏れ・重複のないように並べて列挙します。
　これらの中から無理数を定義しているものをピックアップして改めて順次並べていきます。すると、最終的にできた無理数を定義する文字列の並びＸ(列1、列2、列3、・・・)には有限な情報で定義可能な無理数は漏れなく列挙されていることになります。
　以上で、有限な情報で定義可能な無理数(無理数a)が漏れなく並べられている(可付番)のに対して、
一般の無理数(＝無理数a＋無理数b)は並べ切れず(非可付番)、一般の無理数から無理数aを差し引いた無理数bも当然並びきれないほどの存在(非可付番)が保証されることになります。
　すなわち、「無理数bが無数に存在する」ことになります。

回答No.5

tmppassenger

無限列の場合も、こういうのがありましたね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0%E7%9A%84%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%A0%E3%81%AA%E7%84%A1%E9%99%90%E5%88%97

回答No.4

tmppassenger

無理数の場合は無限桁ですが、有限桁の場合の下の概念が多分役に立つのではないかと思います。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%95%E8%A4%87%E9%9B%91%E6%80%A7

回答No.3

f272

一般には無理数を指定するには無限に多くの桁を指定しなければならないため，無限大の情報量が必要になります。
πやeについて無限大の情報量が必要でないのは，特殊な無理数だからです。ほとんどの無理数はどんな性質があるのかが分かっていません。

回答No.2

maiko04

円周率が100万桁では不足でしょうか？
無理数ですからね。確かに不足でしょう。
でもそれだけの情報を使う場面はあるのでしょうか？

ご存じないでしょうが今のコンピューターで計算できる数字は十数桁ですよ。
100万桁の数字を入力されたところで使う場面はありません。

回答No.1

maiko04

何桁の情報が必要でしょうか？
100万桁？これって１MBで伝送できるんですよ。
50年前ならいざしらず、１MBの伝送に1秒もかかりません。

お礼

早速の御回答に感謝いたします。　

が、まさか、円周率が１００万桁で済むとお考えなのでしょうか。
円周率は無理数です。無限に多くの桁が必要だというのは、
数学的事実です。誰もそれを変えられません。勝手に、１MBとか、
１００万桁とか、１秒で打ち切ることは出来ません。　

しかし、そういう風に御回答なさる所を見ると、やはり、円周率の
指定には無限大の情報が必要だとお認めになるのでしょう？　

あ、そうだ、もっと手っ取り早い方法が有ります。　
「π」を使えば、ギリシャ文字たった一文字で指定できますよ。