ラテン方陣に関して

質問

1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4

のように、縦、横、同じ数が一度しか出でこない方陣を「ラテン方陣」と言うそうです。通常の「魔方陣」とは違って、「ラテン方陣」の場合、縦・横は絶対に合計が同じになりますが、対角の合計は同じでなくても、いいみたいです。

今、9 × 9　のラテン方陣が、全部で何通り、存在するのかや、それをコンピューターやソフトかなにかで、簡単に計算することができるのか、そういうことを頼める業者はないものなのかで、とても困っています。

9 × 9 のラテン方陣とは

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 1
3 4 5 6 7 8 9 1 2
4 5 6 7 8 9 1 2 3
5 6 7 8 9 1 2 3 4
6 7 8 9 1 2 3 4 5
7 8 9 1 2 3 4 5 6
8 9 1 2 3 4 5 6 7
9 1 2 3 4 5 6 7 8

ですが、この方陣の行と列をどのように入れ替えても、ラテン方陣、縦・横、同じ数字は一度しか出てこないラテン方陣ができ、その数は、きっと、ものすごい数のパターンがあると思います。

順番が1 2 3 4 5 6 7 8 9 でなくても、

1 3 5 7 9 2 4 6 8
3 5 7 9 2 4 6 8 1
5 7 9 2 4 6 8 1 3
7 9 2 4 6 8 1 3 5
9 2 4 6 8 1 3 5 7
2 4 6 8 1 3 5 7 9
4 6 8 1 3 5 7 9 2
6 8 1 3 5 7 9 2 4
8 1 3 5 7 9 2 4 6

のようなものもあります。

このようなラテン方陣を作成できるソフトや、何通りあるのかを調べるには、一体、どうしたらいいのでしょうか。

最後にもう一つだけお願いしたいのですが、とりあえずのところ、1 2 3 4 5 6 7 8 9という9個の数字の並べ方が、何通りあるのか、どなたか教えて下さい。
9の ! （階乗）で計算するのでしょうか？

回答No.2

graphaffine · ベストアンサー

lutowinnさん、おはよう御座います。
ラテン方陣の個数は下記文献を参考にしました。

「数理パズルの話」　出版社　日科技連
　　　　　大村平　著

用途が音楽とは、全く想定していませんでした。
９次に限定しているのでナンバープレースという
パズルの関係ではないかと漠然と思っていました。
　　私も自分でラテン方陣の個数計算や個別のラテン方陣の生成をやっていますが、残念ながら７次までです。
９次の場合は全部生成するのは数万年はかかるでしょう。ある程度の９次ラテン方陣の例を知りたかったら書店でナンバープレース（数独と呼ばれるときもある）の
本を探して下さい。パズルコーナーにたくさん有ると思います。

お礼

さっそくその本を見てみます！本当に助かりました。とっても感謝しています！！ここで質問してみてよかったです！！！

回答No.1

graphaffine

lutowinnさん、今晩は。
９次の標準ラテン方陣の個数は
37,7597,5709,6425,8816です。
なお、標準ラテン方陣とは1行目、及び１列目が順序通りに並んでいるもの（貴兄の挙げた最初の例のもの)であり、一般のラテン方陣の個数はこれの９！×８！倍に
なります。

また、１０次以上の場合はまだ何個有るか分かっていません。

ところで、ラテン方陣はネットワークルーターの
ルーティングアルゴリズムに使われている事は聞いていますが、その他の用途を知りたいと思っていました。
よろしければ、ラテン方陣を作って何をするのか教えて下さい。

お礼

どうもありがとうございました。
37，7597，4709，6425，8816 通り！！！！！！！！
さすがに、すごい数ですね(^-^)
標準ラテン方陣だけでこんなにあるとはすごいです。

ネットワークルーターやルーティングアルゴリズムのことは全く分からないですが、私の用途は少し変わっていて特殊なので、一般の人とは違います。
私は、現代音楽を研究しているもので、なんとラテン方陣を使用して、音楽を書いている作曲家がいるのです。縦・横、一回しか同じものが出てこないというところを利用して、数字をリズムに変えて、見事な音楽を書いている作曲家（ルトスワフスキ）がいます。
たまたま、その作曲家について研究してるので、どうしても９次のラテン方陣の個数が知りたかったのです。

私は数学は駄目で、音楽しか知らないので、これは一生分からないなと思っていたのですが、今、分かってよかったです。卒業論文を執筆中なので、これで、多少はまし論文が書けるかもしれないです。本当にありがとうございました。

ところで、標準ラテン方陣の個数は、どのようにして計算したのでしょうか。どこかに結果だけでも載っていたのでしょうか。