５次の超魔方陣の問題

質問

五次の超魔方陣を左右に一度ずつコピーした数の列をさらに上下に一度ずつコピーしてできる、全体で２２５個からなる数の表をこしらえる。この数表から、連続した５行５列のマスを任意に切り出す。このとき、この５行５列のマスはやはり超魔方陣になっている。この理由が何でしょうか？五次に魔方陣はなんとか出来ました。　
11　24　7　20　3　　これをコピーして225個から数の表を作ったのですが、そこ
４　12　25　8　16　　からよく分かりません。どうすれば説明できるでしょうか？
17　５　13　21　9　
10　18　１　14　22　
23　６　19　２　15

回答No.1

Umada · ベストアンサー

その問題はずいぶんややこしい書き方をしていますが、結局は以下のようなことですよね。

5次の魔法陣・・・なんだか「5次元」の魔法陣と紛らわしいですね、5×5の魔法陣、のほうがよさそうですが・・・・の各要素を

A11 A12 A13 A14 A15
A21 A22 A23 A24 A25
A31 A32 A33 A34 A35
A41 A42 A43 A44 A45
A51 A52 A53 A54 A55

と表すことにします。魔法陣ですから当然に、それぞれ縦の合計、横の合計は全て等しいものとします。
題意の操作(上下左右斜隣に同じものを並べて、任意に5×5を切り出す)というのはずいぶんまどろっこしい書き方ですが、
つまりは上からでも下からでも適当な行、例えば上の2行

A11 A12 A13 A14 A15
A21 A22 A23 A24 A25

を切り取って下に並べて

A31 A32 A33 A34 A35
A41 A42 A43 A44 A45
A51 A52 A53 A54 A55
A11 A12 A13 A14 A15
A21 A22 A23 A24 A25

とし、さらには左でも右でも適当な列を切り取って(ここでは例えば左1行)

A31
A41
A51
A11
A21

を右に並べ直して

A32 A33 A34 A35 A31
A42 A43 A44 A45 A41
A52 A53 A54 A55 A51
A12 A13 A14 A15 A11
A22 A23 A24 A25 A21

という操作をして新しい魔法陣を作ったことと本質的に同じです。
さてこの最後の行列の縦横を調べてみると、例えば一番上の行なら

A32 A33 A34 A35 A31

となって、並べ方こそ入れ替わっていますが元の魔法陣の3行目と要素は同じです。ですから足せば、元の魔法陣の3行目と同じ数になります。
縦についても同じで、例えば4列目は

A35
A45
A55
A15
A25

でこれまた元の魔法陣の2列目と要素は同じです。ですから合計は変わりません。

従ってある5×5の魔法陣から題意の操作で新しい魔法陣を作っても、それはまた魔法陣となるわけです。(列、行の要素を並べ替えてはいるが、特定の行や列の中ではその順序が入れ替わるだけで要素そのものは変わらないため)

この話は5×5の魔法陣に限らず、任意のn×nの魔法陣に対して成立します。

お礼

分かりやすく説明していただきありがとうございます。