ヤングの定理

質問

この問題をヤングの定理を使って解きたいのですが、分数となってくると一気にわからなくなってしまいました。
もしわかる方、解説お願いします。

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回答No.4

178-tall

>この問題をヤングの定理を使って解きたいのですが、分数となってくると一気にわからなくなってしまいました。

　f = f(x,y) = (x-y)/(x+y)
について、
　fxy = fyx
が成立するのを示すには、微分してみるほかない。

「分数式」f = g/h の微分公式をなぞると、
　fx = gx/h - g*hx/h^2 = (gx*h - g*hx)/h^2
　fy = gx/h - g*hy/h^2 = (gx*h - g*hy)/h^2
で勘定。

f = g/h の「対数 LN() 」をとってから微分する手もある。
　LN(f) = LN(x-y) - LN(x+y)
　　　　↓ x で微分
　fx/f = 1/(x-y) - 1/(x+y)

　fx = f/(x-y) - f/(x+y)
　　 = 1/(x+y) - (x-y)/(x+y)^2
　　 = (x+y)/(x+y)^2 - (x-y)/(x+y)^2
　　 = 2y/(x+y)^2
　…
(以下、省略)

回答No.3

info33

No.2です

ANo.2の補足コメントの回答

z=f(x,y)=(x+y)/(x-y)= 1+2y/(x-y) = 2x/(x-y)-1
fx= -2y/(x-y)^2, fy=2x/(x-y)^2,
fxy= -2/(x-y)^2 -4y/(x-y)^3= -2(x+y)/(x-y)^3,
fyx=2/(x-y)^2 -4x/(x-y)^3= -2(x+y)/(x-y)^3
fxy=fyx (証明終)

回答No.2

info33

>この問題をヤングの定理を使って解きたい

問題の説明が不十分なので何をしたいのかわからない。

補足

すみません。
詳しくいうと、次の関数のxとyに関する1階および2階の偏導関数を求め、ヤングの定理の成立を確認しなさい。
という問題です。

回答No.1

otomesuke

分数って事は大体の場合…

お湯をかけて蓋をして3分でできるんじゃないかな…