8節点6面体アイソパラメトリック要素

質問

有限要素法で使う8節点6面体アイソパラメトリック要素について質問させてください。形状関数をN_i=(1-ξ_iξ)(1-η_iη)(1-ζ_iζ)の形にとるとき、要素の辺上での変位はリニアに変化するので、要素の辺上での歪は一定ということになると思います。ということは、歪は接点のところで不連続になると思いますが、それでよいのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.6

ency

No2、No3 ency です。

スーパーパラメトリック、サブパラメトリック…なんか、そんなものもあったような気がします。
形状関数と比べて、変位の内挿関数が高次の場合がスーパーパラメトリックだったような気が…でも、実際に使ったことはないので、よくわからないです。
# 有限要素法ハンドブックかなんかで、ちらっと見かけた
# 程度です。

私が学生の頃の指導教官から教わったのは、「有限要素法の二次元定ひずみ要素のイメージはゴム板だ」でした。
まあ、導入部分のイメージとしては、かなりわかりやすかったことを覚えています。

それにしても、定ひずみ要素は、確かにアイソパラメトリックですね。＞ FM-8 さん

というより、アイソパラメトリックに対して、要素内のひずみ一定、という条件を付加することで、非積分関数を積分記号の外に追い出すことができるので、余計なことを考えずに面積分だけをやれば良い、というふうにも考えられますよね。
そうすればガウス積分とか、難しいこと考える必要もないわけですし。

…なんだか、雑談モードに入りそうなので、この辺でやめておきます。
質問者の ganymean さん、ごめんなさい。。。

回答No.5

FM-8

#1,#4です．

たびたびすみません．

私の書いていることは数学的な厳密さを欠いているというご指摘がそろそろきそうなので前もってお断りしておきます．

ご存知と思いますが，「アイソパラメトリック要素」とは，形状関数(要素形状を補完する関数)と変位の内挿関数に同じものを使う場合の名称です．

そうでないものには，どっちがどうだったか忘れましたが，スーパーパラメトリック，サブパラメトリック
というものもあります．

その定義によれば，形状も一次，変位も一次の三角形一次要素もアイソパラメトリック要素です．

今回のご質問は，
「要素境界でひずみが不連続でも，そういうことが許されるのでしょうか？」というご質問と思います．

結論としては，「許される」ということですね．
理由は，凡関数の停留条件には，「そのような制限は無い」と言うことになります．
このあたりが，有限要素法が「タフ(どんな問題でも一応は解ける．精度はともかくとして．)」であるということにもなっています．

回答No.4

FM-8

#1です．

まだ間に合いますでしょうか．(^-^;)

積分点というのは，数値積分するときの計算するポイント(x,y,z座標)です．
これは，有限要素法が積分方程式であるため，
積分することが必要になりますが，内挿関数が(一般に)複雑なため，数値的にしか積分できないために必要となります．理論上必須ではありませんが，重要です．解析的に積分出来れば必要ではありません．
インテグラル(∫)を足し算の和(Σ)に変換するときの代表点です．

今もあるかわかりませんが，「非適合要素」といいまして，この積分点での値だけで計算する「有限要素」もあります．この場合，変位も「節点」で連続とはなりません．
こうなると「何でもあり」ですね．
ご質問者は，有限要素法は，変位は節点で連続でも，ひずみが「節点」で不連続になることに不安を感じておられるわけですから．

私も，前回の回答で，20年ぶりに内挿関数を微分してみたのですが，ご質問者が同じものを見て考えた方がいいだろうと思って，前記のような回答をしました．

三角形要素は単純なんですが，やはり誤差は大きくなります．分割を細かくすればいいのだという考え方もありますが．分割も容易だし．．．

その点，アイソパラメトリック要素は高級です．
二次要素なら数学的な性質も良好です．(ひずみも節点で連続になる)
「アイソパラメトリック要素」は計算できてプログラムも出来るんだけど，
その結果に対する考察は，私もおざなりになってたことがわかりました．

アダプティブP法とか，分割が適当でもそれなりに精度が出る方法があります．
有限要素法をブラックボックスとして使おうという傾向が強い昨今，この様な質問は価値があると思いました．

回答No.3

ency

No2 ency です。

「ガウス積分」とか「ガウス-ルジャンドル積分」といわれている数値積分でいうところの「積分点」なのですが、聞いたことありませんか？
有限要素法関連の書籍等に書いてあると思いますけど。。。
# あ、逃げた。。。
#
# いや、その…今現在この辺の話をきちんと説明できる
# 自信がないもので。。。
# すみません。。。

「ガウス」「ルジャンドル」「有限要素法」などをキーワードにして検索してみたら、いろいろ引っかかってくるみたいですよ。

その中の一つを参考として挙げておきました。

式の展開もされているようですが、恐らくその過程でガウス積分の話が出てくると思います。
アイソをやっていく以上避けては通れないところですので、がんばって理解してください。

参考URL：

http://www.hoctsystem.co.jp/story/yomoyama/story_3.html

回答No.2

ency

こんにちは。

え～と…もう5年以上前の話になるので、かなりあやしい内容になると思いますが、そのつもりで読んでください。

アイソパラメトリック要素に限らず、有限要素法ではひずみについては、節点で議論することはなかった気がするんですが…どうでしたっけ？
# そもそも、節点ごとのひずみって
# 意味があるんでしたっけ？

定ひずみ要素を使う場合は、明らかに隣の要素とひずみは違うわけですから、当然節点を共有する各要素における「節点ひずみ」は不連続になりますよね？

アイソパラメトリック要素を使う場合、積分点と呼ばれる要素内部の点について、ひずみを考えるわけですから、隣の要素の積分点のひずみはおそらく近い値になっていると思いますが、節点のひずみについては不連続になっていてもおかしくないと思います。
# 同様に、積分点以外の場所のひずみも、
# おかしな値になっているはずです。
# …確か、そのはずだったと思うんだけど。。。

こんなもんで、いかがでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
すみません、基本的なことを理解できていないのかもしれませんが、「要素内の積分点」というのは何を表しているのでしょうか。たとえば6面体8節点アイソパラメトリック要素の場合はどのようになるのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

FM-8

最近使ってないので詳しいことはわからないのですが，

内挿関数というのは，節点(nodeの日本語訳)と節点の間を補完するのが役割です．
ですから，境界上というのは，おなじ節点を共有しているので，例え一定値であっても同じ値となるのかもしれません．そうなれば不連続ではないですね．
正確なところは忘れました．

三角形の一次要素というのがありまして，
三次元の場合は四面体になりますが，この要素では，
要素内でひずみは一定になるはずです．
この場合には不連続になります．

有限要素法では，エネルギー原理とか仮想仕事の原理とかの積分方程式を「凡関数極小」とか，「エネルギー最小」という条件で解いているわけですが，
そのときにひずみが不連続でもいいようです．
厳密に数学的にはどうなるかはわかりません．

つまりですね，
　・変位の１次式をつかえば，ひずみが定数となって，不連続となることもあり得ます．
　　六面体要素がどうだったかは忘れました．
　　セレンディピティー族のアイソパラメトリック要素の形状関数で自分で式展開して調べてみれば面白いと思います．

　・しかし，不連続であっても，有限要素法では
　　解くことができます．

　・これによりとうぜん誤差が出るわけですが，
　　分割数を細かくして対応するべきなんではないでしょうか．

　　有限要素法は近似解法ですからいろんな誤差は必ず出ますので．
　　どのような誤差がどの程度の割合で出るかを把握しておくことが必要です．
　　それらは，30年くらい前にいろいろ調べられていたようです．
現在のように，CADソフトが自動的に計算してくれるものでもその原則は生きています．ご質問は，大事なところですね．

お礼

ご回答ありがとうございました。
御礼が遅くなってすみません。
要素の形状関数を自分で展開して調べてみればとうかがい、もっともだと思って計算してからまたお礼なりご質問しようと思って、お礼が遅くなってしまいました。
で、実際の計算の方は…まだ展開できていません(汗)