円順列

質問

裏返すと一致するものの個数を円順列の問題で使ったりしますが,その時に数え忘れをなくす為にできる工夫はありますか?

回答No.1

deshabari-haijo · ベストアンサー

先ず、「裏返すと一致するもの（という考え方）」は、「円順列」ではなく、この応用の「数珠（じゅず）順列」です。
そして、「数え忘れ（もれ）」よりも、むしろ「数え過ぎ（重複）」が生じ勝ちです。

(1)「円順列」の例

・A～Eの5人（性別は無関係）が円形のテーブルに着席する場合（空席はない。）
Aが座る席を固定し、他の4人が着く着き方（順列）を考えるので、(5-1)!=4!=24通り
これが、基本的な考え方です。

・男性2人と女性3人の計5人のうち、男性2人が隣り合わないように円形のテーブルに着席する場合（空席はない。）
便宜的に5つの座席を右回り（時計回り）に(1)～(5)とし（どの席を(1)と決めても差し支えない。）、これらの5人を男A、男B、女C、女D、女Eとします。
男Aが座る席を(1)に固定して考えると、男Bは(3)または(4)の席にしか着けないので、これは2通り
残りの席に女C～女Eが着く着き方は、3!=6通り
よって、答えは2×6=12通り

(2)「数珠順列」の例

・互いに色の異なる5個の球を糸でつないで腕輪（数珠）をつくる場合
先ずは、「円順列」と同様に考えて、(5-1)!=4!=24通り
さらに、裏返すと一致することを考ると、答えは24/2=12通り

・大きさの等しい（区別が付かない）赤球2個、（大きさは無関係な）白球1個、青球1個、黄球1個の計5個の球を糸でつないで腕輪（数珠）をつくる場合（ただし、赤球2個は隣り合わないようにする。）
先ずは、「円順列」と同様に、(1)に赤球1個を固定すると、もう1個の赤球は(3)または(4)に入ると考え勝ちですが、(1)と(3)に入る場合と、(1)と(4)に入る場合は区別が付かない、つまり同じことです。
人の場合には、男性2人の区別は付きますが、この場合には、赤球2個の区別が付かないので、赤球2個の入り方は1通り
残りの3個（3色）の球の入り方は、3!=6通り
さらに、裏返すと一致することを考ると、答えは6/2=3通り
なお、これは見方を変えると、赤球2個の間には残りの3個（3色）の球のいずれかが入るので、答えは3通り

※
「数え過ぎ（重複）」（場合によっては「数え忘れ（もれ）」）が生じないようにするためには、とにかく書き出してみることが肝要です。

お礼

ありがとうこざいます!