フィボナッチ数列と面積

質問

図のように1辺8の正方形を切って、長方形に並べなおすと、面積が64から65に増える。このような正の整数の組について考える。というテーマの解説で２点わからないので質問します。
いまa>b≧cとし、　A:a=b+c B:b(a+b)-a^2=1 C:b(a+b)-a^2=-1を考えます。(8,5,3)はA,Bを満たす例。
(0)c=1の場合　a=b+1であるから,Bならば　b(2b+1)-(b+1)^2=1 よって　b=2 (3,2,1)を得る。Cを満たす組は、b^2-b-1=-1より　(2,1,1)を得る。
(1)b=cの場合　Bならば b(3b)-(2b)^2=1より　このような組は存在しない。
　　Cならば、-b^2=-1より　(2,1,1)を得る。
(2)(a,b,c)がA,Bを満たすとすると、b(a+b)-a^2=b(2b+c)-(b+c)^2=b^2-c(b+c)=1であるから(b,c,c)はCを満たす。ここが1つめのわからない点です。
上記の式の両辺に-1をかけてc(b+c)-b^2=-1はCのbをc,aをbに書き換えたので(b,c,?)がCを満たすのは納得がいきますが、?にcが入る理由がわかりません。Aを満たすとは書いてないのでb=2cを満たすとも思いません。どなたか(b,c,c)がCを満たす理由を教えてください。
解説は続いて、
(3)d=b-cとすると、c≧dである。なぜならば、ｃ＜ｄとすればb/2>cとなるから
　　b^2-c(b+c)>(1/4)b^2 これが2つめのわからない点です。b/2>ｃの両辺に2ｂをかけたりしても不等式が導きませんでした。b^2-c(b+c)>(1/4)b^2これはどの不等式から
導いたものなのか教えてください。
解説は続いて、
　不等式b^2-c(b+c)>(1/4)b^2から、4>b^2このようなbは存在しない。したがって、
( a,b,c)がA,Bを満たすとき(b,c,d)はA,Cを満たし、A,Cを満たすときは、A,Bを満たす。
　この後(4),(5)と段階をへて、求める数の組は、Bを満たす場合
｛a2(n+1),a2n+1,a2n}　Cを満たす場合{a2n+1,a2n,a2n-1}のフィボナッチ数列であることがしるされます。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

> (b,c,c)はCを満たす

どういう論理の流れになっていくのか、その後の展開がよくわからないところもあるが、この時点では(b,c,?)が条件Cを満たすことは分かったのだから、(b,c,c)も当然にCを満たしていますよね。「3番目の数は何でもよい」のですから３番目の数がcであっても条件は満たします。cでなければならないとは言っていないのですから。

> b^2-c(b+c)>(1/4)b^2

b^2-c(b+c)のcをb/2で置き換えると、この式の値は小さくなります。つまり
b^2-c(b+c)>b^2-(b/2)(b+b/2)=b^2-(b/2)(3b/2)=b^2-(3b^2/4)=(1/4)b^2

お礼

「3番目の数は何でもよい」というご指摘ありがとうございます。不等式の説明もわかりやすかったです。

回答No.2

asuncion

フィボナッチ数列に関するおもしろいトピックでは
自然数a, b, cがこの順にフィボナッチ数列を構成しているとき、
a * c = b^2 ± 1
が常に成立し、かつ、+1と-1のケースが交互に現われる、というものがあります。
今回の例では、5, 8, 13がこの順にフィボナッチ数列を構成しているとき、
5 * 13 = 8^2 + 1
ってことですね。

お礼

常に成立する関係の説明ありがとうございます。参考にしてまた、数式で考えたいと思います。

回答No.1

asuncion

＞図のように1辺8の正方形を切って、長方形に並べなおすと、面積が64から65に増える。
そもそもこの現象はありません。実際には、下の長方形で、
左上から右下への対角線に面積 = 1のすき間があります。っていう話はご存じの上でのことですか？

お礼

面積が増加する理由を教えていただき、ありがとうございます。

補足

インターネットで調べたら、面積1の隙間できたり、面積1が余るというのは見ました。そのような正の整数の組を求める方法がわかりたかったです。