確率

質問

赤玉４個、青玉３個、緑玉２個が入った袋から同時に３個取り出す時同じ色がある確率を求めよ。

組み合わせを使わないで解いてみたのですが、答えが合いません。
私は
1-全て違う色の確率
１ー(4/9 x 3/8 x 2/7) = 20/21　とやってみました。
何故間違っているのか教えて頂けますか？

回答No.8

staratras · ベストアンサー

No.6です。組み合わせを使わない場合の解法の補足説明です。

単純に、「赤を引かない確率」+「青を引かない確率」+「緑を引かない確率」とすると、下の図のように、「赤だけを引く場合の確率」と「青だけを引く場合の確率」が重複し、2度数えていることになってしまいます。

このため、この「赤だけを引く確率」+「青だけを引く確率」を引いているのです。なお緑色の玉は2個しかないので、3個引くなら緑だけを引く場合はあり得ません。(この解法は回りくどかったですねごめんなさい）

＞1-全て違う色の確率
１ー(4/9 x 3/8 x 2/7) = 20/21　とやってみました。
何故間違っているのか教えて頂けますか？

単純化して、赤青2個ずつ合計4個玉があるとします。この中から2個を引くとき違う色の玉である確率は、ご質問の考え方なら、2/4×2/3=1/3　…（１）となるはずです。しかし実際に列挙してみれば(便宜上赤白の玉に1.2の番号をつけて区別します）

赤1・赤2
赤1・白1
赤1・白2
赤2・白1
赤2・白2
白1・白2　ですから、4/6=2/3　で違います。

なぜなら（１）は「4個の玉のうちからまず特定の色の玉(例えば赤玉）を引きかつ次に引いた玉が違う色の確率」だからです。
求めたいのは「どの色の玉から引き始めても良いから2個が違う色である確率」です。

元に戻ると、4/9×3/8×2/7=1/21は
「9個の玉のうちからまず赤玉1個を引き、次に青玉を引き、最後に緑玉を引いた確率」だけです。

この考え方なら、「9個の玉のうちからまず赤玉1個を引き、次に緑玉を引き、最後に青玉を引く確率」など赤青緑の3色のすべての順番を考慮する必要があります。3色の順番は6通りだから確率も6倍です。

1-6×(4/9×3/8×2/7）=1-2/7=5/7　が正しい答えです。

お礼

＞ 「4個の玉のうちからまず特定の色の玉(例えば赤玉）を引きかつ次に引いた玉が違う色の確率」

ああ分かりました。

＞ 求めたいのは「どの色の玉から引き始めても良いから2個が違う色である確率」です。

そうですね、それが読み取れていない、気がつけなかったです。何度も練習して慣れていこうと思います。

とても詳しく説明して頂いて本当に有難うございました。

回答No.7

marukajiri

なぜ間違っているかというと、4/9というのは9個の中から4個を取り出す確率ですので色が混合している可能性も含まれています。同様に、3/8も2/7も色違いのものが含まれてしまいますので、質問の意図と関係の無い計算をしているのです。

考え方としては、違う色の組み合わせである確率の余事象となりますので、まず赤玉の中から1個、青玉の中から1個、緑玉の中から1個を取り出す組み合わせがいくつあるかを出し、9個の玉から3個を取り出す組み合わせの総数を出して確率を求めることになります。

違う色となる組み合わせは
4C1×3C1×2C1=4×3×2=24通り

総数である9個の玉から3個を取り出す組み合わせは
9C3=(9×8×7)/(3×2×1)=84通り

3つの玉が違う色となる確率は
24/84=2/7

同じ色がある確率は3つの玉が違う色となる確率の余事象なので、その確率は
1-2/7=5/7

お礼

とても丁寧に説明して頂き有難うございました。

回答No.6

staratras

すべて違う色の玉の組み合わせの総数は、
「赤4個のうちから1個」×「青3個のうちから1個」×「緑2個のうちから1個」なので
4Ｃ1・3Ｃ1・2Ｃ1 です。

したがって求める確率は
1-（4Ｃ1・3Ｃ1・2Ｃ1）/9Ｃ3=5/7 です。

組み合わせを使わないならば、色は3色なので少なくとも1色の玉を引かなければ必ず同色の玉が存在することを使い、さらに1色だけを引く確率が赤と青にはあることも考慮して求める確率は次の通りです。

「赤を引かない確率」+「青を引かない確率」+「緑を引かない確率」-（「赤だけを引く確率」+「青だけを引く確率」）
=5/9・4/8・3/7+6/9・5/8・4/7+7/9・6/8・5/7-{（4/9・3/8・2/7+3/9・2/8・1/7）}
=65/84-5/84=5/7

お礼

こういう問題は組み合わせを使う方が簡単に出来るのですね。
丁寧に説明して頂き有難うございます。

回答No.5

asuncion

あ～そうか。
最初の当方の回答では3個とも赤、3個とも青が抜けてた。
4)3個とも赤
4C3 = 4
5)3個とも青
3C3 = 1
∴(30 + 18 + 7 + 4 + 1) / 84 = 5/7

お礼

わざわざ訂正して頂き有難うございました。

回答No.4

asuncion

もっと簡単にできた。
赤1個、青1個、緑1個を選ぶ場合の数 = 4・3・2 = 24
よって同じ色がある確率 = (84 - 24) / 84 = 5/7

お礼

このお考え方、思わずナイスと叫びたくなりました。有難うございます。

回答No.3

asuncion

全体の場合の数 = 9C3 = 84
この瞬間に1/126は粉砕。だいたい直感的に1/126ほど小さいはずがない。

1)赤2個を含むとき
3個目は青でも緑でもよい。
4C2・5C1 = 30
2)青2個を含むとき
3個目は赤でも緑でもよい。
3C2・6C1 = 18
3)緑2個を含むとき
3個目は赤でも青でもよい。
2C2・7C1 = 7
よって求める確率 = (30 + 18 + 7) / 84 = 55/84
う～ん、質問者さんの5/7とずれてるな。まあいいか。

お礼

有難うございました！

回答No.2

mayu24861793

問題見間違えてました
少なくとも同じ色がある確率ですね

1ー(4C1×3C1×2C1/9C3)

でした

お礼

わざわざ訂正して頂いて有難うございました

回答No.1

mayu24861793

確率の求め方が根本的に違っていると思います。一度見直した方がいいでしょう。
あと、その方法では面倒だとと思うので、
4C3＋3C3／9C3＝1／126
でできると思います。
※違っていたらすみません

お礼

> 一度見直した方がいいでしょう。
ほんと、おっしゃる通りなんです。
何度も簡単なところからやり直してはいるのですが確率の問題は物凄く苦手です。

答えは5/7なので教えて頂いたのとは違うのですが参考にさせて頂きます、有難うございました