組立公差の感度係数

質問

製造業に勤務する機械エンジニアです。
組立公差の感度係数について疑問が生じましたので質問させて頂きます。

添付の画像のように、基準面に柱A、柱Bが間隔Cで立っており、
A、B、Cのバラツキは3σ管理で正規分布すると仮定し、
基準値と公差域は　A＝20±0.1　B＝30±0.1　C＝50±0.5　とします。

ここで、柱Aと柱Bの頂点を結ぶ線分A-Bと基準面の間の角度θは、
θ＝ATAN[（B-A）/C]　より
θ＝11.31deg

また各寸法の位置関係によって決まる感度係数は誤差伝播の考え方から、
θ(A,B,C)をA,B,Cで偏微分したものに各値を代入したものなので、

∂θ/∂A＝C/(A^2-2AB+B^2+C^2) ＝ 1.10
∂θ/∂B＝-C/(A^2-2AB+B^2+C^2) ＝ -1.10
∂θ/∂C＝(B-A)/(A^2-2AB+B^2+C^2) ＝ 0.22　

θの標準偏差は　（（1.10*0.1/3)^2+((-1.10)*0.1/3)^2+（0.22*0.5/3)^2）＾0.5　より
σ=±0.0636　⇒　3σ=±0.1908

∴組立公差はθ＝11.31±0.1908　と考えることができます。

しかし、基準値と公差域を　
A＝20±0.1　B＝20±0.1　C＝50±0.5　とすると、

Cの感度∂θ/∂Cの分子が20-20＝0になってしまい感度が０になります。
つまりCがどれだけばらつこうが、θに影響しない結果になります。
計算上、そうなるのは明らかなのですが、実際の現象としては不正確だと思います。

このように感度が０になってしまう場合の組立公差の感度は
どのように考えれば宜しいのでしょうか？
この手法では感度０になる場合は正確に求められないのでしょうか？

ご教示よろしくお願い致します。

あぁ…すみません。
一人で何か勘違いしていたようです…。

感度は０になりますが、
計算の解としては問題なくそのとおりでした。

ohkawa様のおっしゃるように中途半端な数学が正しい結果を間違っていると
こじつけて捉えてしまっていたようです…。

訳の分からないことを質問してしまって申し訳ございませんでした。

http://pb2.crew-sys.net/pb/vid=185977/t=100/pw=420/ph=315/playlink.html

回答No.4

noname#230359 · ベストアンサー

第１項：∂θ/∂A＝C/(A^2-2AB+B^2+C^2) ＝ 1.10
第２項：∂θ/∂B＝-C/(A^2-2AB+B^2+C^2) ＝ -1.10
第３項：∂θ/∂C＝(B-A)/(A^2-2AB+B^2+C^2) ＝ 0.22

Ａの代表値とＢの代表値がイコールの場合、第３項はゼロになると思いますが、
第１項と第２項はゼロにはならない筈です。従って、きちんと答えが出ると
思います。

ＡとＢの代表値はイコールであっても、ばらつきはランダムに発生しますの
で、第１項と第２項はゼロにはならないということです。

厳しい言い方で恐縮ですが、中途半端な数学が不可思議な結論の原因と思います。

これも、B,C,Dの値を代表値として扱ったからではありませんか？
個々のばらついた値として処理することが適切と思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

よく考えるとCの感度が０は正しいですね。
AとBの代表値がイコールでもAとBの感度は０にはならず
1.15と-1.15になり、Cの感度のみ０でした。
ﾓﾝﾃｶﾙﾛ法でCの公差を可変させて検証しても計算と同様のバラつきに収束しました。

同様の疑問なんですが、
求めたθを使ってさらに幾何的に寸法Eを求めようとしたとき、
仮に関数式を下記のようにすると、

E＝D*cos[ATAN[（B-A）/C]]

今度はA,B,Cの感度が０になってしまいます。
（導関数はややこしくなるので割愛します）

これは明らかにおかしいと思うのですがどうでしょうか。
ﾓﾝﾃｶﾙﾛ法でA,B,Cの公差を可変させるとEのばらつきも大きく変わります。

度々ご回答すみません。
私が勘違いしていました。
個々のばらついた値で確認したところ、
計算のとおりのばらつきに収束しました…。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#230359

(B-A)がゼロになるのは両者誤差ゼロの場合。たしかにそれではθは誤差無くゼロになる。

以上

というか、最初の計算も厳密には２０と３０に誤差分が掛かるけど影響小さいから無視してるだけです。

回答No.2

noname#230359

AとBのバラツキがCの距離で相殺されてるから

Cの距離を短くすればバラツキが大きくなります

まあ、距離長いんで気にスンナってこと

回答No.1

noname#230359

訳ワカメです。

基準値と公差域は　A＝20±0.1　B＝30±0.1　C＝50±0.5　として、部品数が一億個程度あり、
θに影響が最小限になる組み合わせを、コンピュータ解析でき、組み立てるなら理論的には、
θに影響しない結果になりますに近くなるでしょう。

しかし、現実的には、
? A＝20±0.1は、マイナス公差になると不良品なので、中央値を20のプラス公差設定にする。
　 材料代低減で、粗切断→仕上げ加工にて、A＝20±0.1マイナス公差にならない技術で、
　 中央値を20のできるだけマイナス公差管理し、１本でも多く製品にする。
　 持っている機械や技術レベルで、方針も異なるので、加工管理の中央値をコントロール
　 することは難しい。
? B＝30±0.1も、?と同様で難しい。
　 <B＝20±0.1も、?と同様で難しいとなります。>
? C＝50±0.5は、50の中央値を一般的にします。
　 ですが、同じ加工機を使用すれば良いですが、いくつかの加工機を使用すると、機械の傾向が
　 公差のバラツキに現れ、また複数並べて加工するとプログラムの組み方でも公差のバラツキに
　 現れます。

以上から、寸法公差の中央値計算結果に実際はならないし、加工管理の中央値での計算結果にも、
中々ならない要因が部品のベストチョイス方法でもあるので、任意部品チョイス方法ではないと
なるでしょう。

話しから反れますが、ベアリングの超々精密級で宇宙船やロケットに使用するベアリングは、
ボールが完全な球に近いで、内輪と外輪の組み合わせが完全な球に近い軌道をを確保できる
状態になっていて、その他の基本寸法が基準寸法に限りなく近く、幾何公差的にも非常に優れて
いるものをチョイスして、ベアリングの超々精密級を製作します。
偶然にできると云った方が良いのですが、その偶然にできる確率を製造検査データを基に計算で
求めているので、偶然の産物を探しているのではありません。
このような場合の計算をするとき、標準偏差を使うのであり、使い方が？？と思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
おっしゃられているように確かに加工管理の中央値を狙って仕上げることは困難です。寸法のノミナル値が実際の平均値になるとは限らないし、正規分布になるとも限らないと思います。
そういう製造上の事情を考慮したうえで、公差設計を行い品質とコストバランスの取れた設計しないとなぁと改めて感じました。

弊社の設計現場では、
設計者が決めた寸法値は製造の平均値になると考えています。
そして公差は正規分布であれば±3σ値（もしくは一様分布）として考えて、
公差計算を実施し、機能を満足するばらつきの範囲内に
収まっているかどうかで合否判定をします。
そこが重要寸法の場合は管理するCpkを上げるといった指示をしています。

ただ今回の質問は製造できるかどうかの観点ではなく、
誤差伝播の考え方を使った組立公差のバラつきを推定をした時に、
感度が０になる寸法の正しい感度の出し方です。
この手法では求めれないというのであれば仕方無いですし、
他の手法で正しい感度が求められるのなら知りたいです。