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水の温度変化について
- 水の温度変化について質問されています。
- 水槽に40℃の水が200リットル入っており、90℃のお湯を入れて水槽内の水を75℃にするためには、何リットルのお湯が必要でしょうか？
- 質問者はこの機会に基礎から勉強したいと考えています。
- その他（開発・設計）
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こんにちは。 定圧モル比熱Cpの物質の温度がT1/KからT2/Kまで変化するとき エンタルピー変化は Cpを温度でT1からT2まで定積分したものになります。 テキストでは書きにくいですが、無理やり書くと ?H＝（インテグラル：積分範囲T1-T2）CpdT です。 最近は比熱の単位として J/K・mol を用いることが一般的ですが、実際はなんでも構いません。 計算してから変換すればよいです。 以下では計算を簡単にするために水の比熱を calおよびmlあたりの比熱Cp=1を用います。 水はml＝ｇで扱えるのでこの方が簡単です。 ちなみにJおよびmolでは Cp=75.48J/K・mol になるはずです。 さて、40℃から75℃まで変化するときのエントロピー変化は H（348/K)-H（313/K)=35 です。 次に90℃のお湯が75℃になるには、同様にして H(348/K)-H（363/K）=-15 あとはそれぞれに体積をかけて（90℃→75℃の方はエックスとおいてください） イコールでつなぎ解けばOKかとおもいます。 温度は絶対温度ですので、注意してください。 セルシウスやファーレンハイトだと、エンタルピーは良いですが、 エントロピーの計算が狂ってきます。 間違ってたらごめんなさい。 次に90℃のお湯が75℃になるには、同様にして H(348/K)-H（363/K）=-15 はマイナスをかけて15とすべきですね。ごめんなさい。 45℃の水が得た熱量＝90℃の水が失った熱量 ですから・・・ 私も466.6・・・になりました。 こんばんは。 エンタルピーの定義が H＝U+pV（Uは内部エネルギ） 熱力学第一法則が U＝Q+W（Wは仕事） ですので、定圧下で dW=-pdV となり 結果として ?H=Q になるのだと思うのですが・・・ 明確に答えられなくてすみません。勉強しなおします。 単純に計算された結果でも実際上は全く問題ないと思います。 ただし、厳密な話をすると少々複雑です。 そもそも普段考える熱量（エンタルピー）は絶対値ではありません。 エントロピーは0/Kで0ですが、エンタルピーは0/Kでも ある値を持っています。従って、我々はエンタルピーの値を 知ることは絶対にできないのです。 イメージとして何百キロも彼方から続く紐の起点が不明な場合、 その紐の長さを計測することができないようなものです。 とすると、ご質問の c*200リットル*(75-40)=c*X*(90-75) 式自体が厳密には間違っていることになります。 正確には、熱容量の定義式 Cp＝dQp/dT と上の?H=Qから dH＝CpdT 両辺を積分するとある温度Tにおけるエントロピー H=H1+（インテグラル：0K→TK）CpdT が求まります。 H1は絶対零度でのエンタルピーを示します。 つまり、インテグラルの項は0KからTKまでの エンタルピー変化求めていて、その前のH1は 本来は分からないはずの0Kでのエンタルピーを 勝手に定数項として採用しているのです。 この二つを加算すれば、ある温度Tでの エンタルピー量が絶対値として分かるわけです。 が、実際にはH1は不明ですので当然Hも不明です。 T1からT2まで温度が変化したときのエンタルピー変化は 上式にT1およびT2を代入して H(T2)-H（T1） で表されるので、 定数項である絶対零度のエンタルピーが相殺されて おっしゃる式になるということだと思います。 （同じ物質ならば、0Kでのエンタルピーは同じ値を持つはずです。 ただしあくまでも絶対値を知ることはできません。） 結果として同じならそれでいいのでは？と思うかもしれませんが、 私もそう思います（笑） 最後の質問は、必要な水は多くなるでしょう。 40度の水も90度の水もステンレスも放熱して23度になろうとするのですから、 75度になるはずの90度の水では温度が低くなるはずです。 が、実際にはフタや断熱材などステンレス槽に付属するわけですよね。 とすると計算しなければいけないのはステンレスに取られる熱量だけで かなり事足りると思いますがどうでしょうか？ 長々と書きました。読みにくくてすみません。 読み直すとやっぱり判りにくい・・・ エンタルピー変化は絶対値でわかるけど、 エンタルピーそのものは判らない、 ってことを言いたかったのですが、 ご理解いただけたでしょうか。
その他の回答 (3)
勿論熱放散を考えずにですが。 結局はエネルギー保存の法則でしょうか。
私も466.66・・・に１票
えぇ～と、４６６.６６・・かな？ 何てやっていて、気づきました。 これは、ナゾナゾですね。 > ９０℃のお湯を入れて・・・ > ８５℃のお湯は何リットル必要でしょうか？？ よって、８５℃のお湯は、必要ありません！ が答えかと・・・。 ＃ たまにはこんなナゾナゾも良いかな。 ハハハ！ 単なる書き間違いですか、残念。(←何？) 回答(３)のｖｉｃｋｓ氏の解説が、秀逸かと思いますが、敢えて追記です。 もぉ～のすごく、簡単な説明をします。 ０℃をベースに考えて、４０℃の水２００リットル分の熱量があります。 ここに９０℃、Χリットルのお湯を入れますから、その前後で、 全体の熱量について等式を立てます。 ７５＊（２００＋Χ）＝４０＊２００＋９０＊Χ この式を解けば、Χは、ほら、４６６.６６・・リットルではないかと。 あまり難しく考えないように。
補足
大変失礼致しました。正しくは、 水槽に４０℃の水が２００リットル入っています。 この水槽に９０℃のお湯を入れて水槽内の水を７５℃にするためには、 ９０℃のお湯は何リットル必要でしょうか？？ でした。 お昼前で焦って入力していたら間違えてしまいました。 大変恐縮です。 お手数お掛けしまして申し訳ございませんが、 お時間がございましたらご教授下さい。 御回答ありがとうございます。 鶴屋南木さんの考え方でも同じ値になるのですね。 しばらく在庫管理等をしていたら、ずいぶん頭が固くなったと実感しました。 実際は常温(約２３℃)の室内でステンレス製の水槽に ４０℃の水が２００リットル入っているところに、 ９０℃の水を配管して冷やそうと考えているのですが、 大気中・ステンレスへの放熱を考慮すると ９０℃の水は上式の値より多く必要になると考えてよいのでしょうか？ お手数かけて申し訳ございませんが、ご教授お願い致します。
お礼
お礼が遅れてしまい申し訳ございません。 とても勉強になりました。 今後とも宜しくお願い致します。
補足
わかりやすいご説明ありがとうございます。 45℃の水が得た熱量＝90℃の水が失った熱量と考えるのですね。 元々の考え方としては、 エンタルピを用いた熱力学第一法則の式 dq=dh-vdp [dq:熱量の変化分 dh:エンタルピの変化分 vdp:体積×圧力の変化分] 上式で定圧変化p=0より、 dq=dh と考えているのでしょうか。 見当違いでしたらすみません。 単純にdq=cmdt より、９０℃の水量をXとすると、 [dq:熱量の変化分 c:水の比熱 dt：温度変化分] c*200リットル*(75-40)=c*X*(90-75) 式の両側にcがあるので消去して、 X=200*35/15 =466.66リットル この解き方では厳密にいうと間違いなのでしょうか？ また実際は常温(約２３℃)の室内でステンレス製の水槽に ４０℃の水が２００リットル入っているところに、 ９０℃の水を配管して冷やそうと考えているのですが、 大気中・ステンレスへの放熱を考慮すると ９０℃の水は上式の値より多く必要になると考えてよいのでしょうか？ お手数かけて申し訳ございませんが、ご教授お願い致します。 御回答どうもありがとうございます。 お忙しい所お時間を頂戴してしまい、大変恐縮です。 エンタルピーとはどようような値なのかがうまくイメージできなかった のですが、vicksさんのおかげで少しずつわかってきました。 『エンタルピーは状態量なので、エンタルピーの値そのものはわからないが エンタルピーの変化量はもとめることができる』 だいたい上記のような形でよろしいでしょうか？ ＞実際にはフタや断熱材などステンレス槽に付属するわけですよね。 おっしゃる通りでございます。基本的なところでつまづいてしまったので この機会にしっかり復讐しておこうと思い質問させて頂きました。