正四面体 角度

質問

氷では、
正四面体の中心に酸素があるとして4つの頂点には
水素があります。

現実の氷ではなく、純粋な数学的に幾何学的に
その酸素と水素の間の角度は、何度になるのでしょうか？
109.47度
小数点以下4けた程、正確な値を教えて頂きたい。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

inorganicchemistさんの答と一致しました。
正四面体の頂点A,B,C,Dの直交座標系(x,y,z)における座標は、重心を原点O、頂点Aをz軸上、頂点Bをy-z平面上に置く事にし、重心から各頂点までの距離を1とすると
A: (0,0,1)
B: (0,(2√2)/3, -1/3)
C: ((√6)/3,-(√2)/3, -1/3)
D: (-(√6)/3,-(√2)/3, -1/3)
となります。簡単な計算で、どの頂点も原点から1の距離にあり、どの二つの頂点同士の距離も√3であることが確認できます。
　さて、２つの頂点（たとえばAとB）の内積を取れば、α=∠AOB とするとき cosα=A・B = -1/3
従って求める角度はα=Arccos(-1/3)です。

お礼

有り難うございます。
頂点CD間の距離は、2√6/3であり仰られるような√3ではありませんが
どうなのでしょうか。

回答No.4

stomachman

あれま。stomachman、いつもの事ながら計算チョンボです。
　ご指摘の通り、No.2において、２点間の距離は全て (2√6)/3ですね。それ以外の間違いはないと思います。
　重心が原点(0,0,0)にあることは４つのベクトルの和がA+B+C+D=0であることから確かめられますね。

　間違えといて何ですけど、物を尋ねる以上は残りの組み合わせについてもチェックしてみてくださいな。

回答No.3

inorganicchemist

＞この場合酸素は、四面体のどの部分に位置するのでしょうか。

酸素と四つの水素の座標を

O(0,0,0)
H1(1,1,1)
H2(1,-1,-1)
H3(-1,1,-1)
H4(-1,-1,1)

と置きます。

＞四面体の重心は、三角形の時と同じ考え方で宜しいのでしょうか。

数学は得意でないので、立体の重心について
は自信がありませんが、三角形の時と同じ考え方でよいと思います。

＞また理化学辞典第4版383ページには、正四面体角は
＞109.28度となっていましたが、この理由については
＞御存じでしょうか。

・・・なってますねぇ。おそらく計算途中でルート３を
1.73にして、などの影響だと思いますが・・・

純粋に数学的に処理するのであれば、あくまで
「cosα=-(1/3)を満たす角度」が答えです。

実際に構造解析などで得られた情報を比較するのであれば
「109度ぐらい」で十分です。

補足

有り難うございました。
正四面体の重心について、根拠が無いのに同じ考え方で良いというのは
説得力がありません。
109.28度については理化学辞典第5版でもその値になっております。
理化学辞典ともあろうものが有効桁数を考慮していないはずが
ありません。よってこれも説明に無理があります。

回答No.1

inorganicchemist

cosα=-(1/3)を満たす角度です。
109.4712206....

立方体の頂点の一つおきに原子をおいて、
四面体を作り、体対角線の長さと余弦定理を使って
誘導できます。

補足

有り難うございます。
無機化学の専門家の方でございますか。
この場合酸素は、四面体のどの部分に位置するのでしょうか。
四面体の重心は、三角形の時と同じ考え方で宜しいのでしょうか。
また理化学辞典第4版383ページには、正四面体角は
109.28度となっていましたが、この理由については
御存じでしょうか。