ベクトル問題の疑問

質問

●数IIB、チャート式（黄チャート）平成19年9月1日発行。３３３ページ。基本例題32

△OABにおいて、辺OAを ２：１ に内分する点をP、辺OBを ３：２ に内分
する点をQとする。また、線分AQ、BPの交点をR、線分ORの延長が辺AB
と交わる点をSとし、↑OA＝↑a、↑OB＝↑ｂ　とする。
（１）↑ORを↑a、↑ｂ を用いて表せ。

この問題の解法の最初のところで、　
↑OR＝ｘ↑OA ＋ y↑OBとする。
↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　　↑OR＝ｘ↑OA＋５/３ｙ↑OQ　・・・（あ）

と解説があるのですが、これはこれで読めばわかります。

が、はじめてこの問題を解いてみたとき、
↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　

　↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB　・・・（い）

として解きました。

正解は、↑OR＝４/９↑a + １/３↑ｂ　なのですが、
答えが合いませんでした。

質問ですが、（い）とすればなぜ正解がでてこないのか、なぜ（い）と最初におかないのか、
いまひとつ理由がハッキリのみこめません。
どなたか教えてください。
（い）とおくのは、こういうふうに考えてのことだから、そう考えるのはこういう理由でおかしいのでは、、、といったようなかんじで、、、

ちなみに、同様の問題が、数IIB、チャート式（青チャート）平成19年9月1日発行。３４６ページ。基本例題２２
にもありますが、解法が違っています。これはこれでわかりますが、今知りたいのは、上の解法の
（い）とはおかずに（あ）とする理由、その1点です。

よろしくお願いします。

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

あなたの方法は
ＯＲ＝ｘＯＡ＋ｙＯＱ　（ｘ＋ｙ＝１）（い）
とおいて解くものですね。
（ベクトルの記号↑を省いています。）
これで出来るはずです。
この後どういう風にしてやったかがわからないのですが
（い）と置いたことが悪いのではなくてこれに続くところで間違っているのではないですか。
私のやり方でやってみます。
ＯＲ＝ｕＯＰ＋ｖＯＢ　　（ｕ＋ｖ＝１）　（う）
Ｒは２つの線の交点ですから（い）と（う）は同じ内容にならなければいけません。
ＯＱ＝３／５ＯＢ
ＯＰ＝２／３ＯＡ
を入れてベクトルを共通にします。
ＯＲ＝ｘＯＡ＋(３／５)ｙＯＢ
　　＝(２／３)ｕＯＡ＋ｖＯＢ
同じ式になるということで
ｘ＝(２／３)ｕ
(３／５)ｙ＝ｖ
これと
ｘ＋ｙ＝１
ｕ＋ｖ＝１
をあわせて解くと
ＯＲ＝(４／９)ＯＡ＋(１／３)ＯＢがでてきます。

私は交点が出てくるときはいつもこのやり方です。
２つの表し方が一致すると考えるのです。

お礼

●回答番号：No.1　様のアドバイスのなかに、

>文字式yの役割を途中で変えていませんか？
>「ベクトルORを作るために、ベクトルOQをy倍する」というのが文字式yの役割ですよね

とありますが、あたりまえのようにかかれているこのことが、
「どうして、↑OBをy倍する」ではいけないのか、、、が私はわっていなかったのですね。
どうせなら２/５↑OBをy倍する、ならまだ筋はとおっているのかなと。

●回答番号：No.1　様、No.2様ともに、最初の私の解き方でも答えはでる、と書かれているのですが、

↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　
　↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB　・・・（い）
これで答えがでる、というのがよくわかりません。

このようにおけば
　（い）・・・↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB
は、↑OR＝ｘ↑OA＋ｙ（３/５↑OB）　　と見るしかなく、
（う）・・・↑OR＝２/３x↑OA＋y↑OB　
は、↑OR＝x（２/３↑OA）＋y↑OB　　と見るしかなく、
結果的にそこからは　x＋y＝１　しかでてこないような気が、、、
ここからさらになにか式を書き進めていくと答えが導けるのでしょうか？
であれば、それを教えてほしいです。

ここまで考えて、回答番号：No.３　様のアドバイスを見てみますと
回答番号：No.1　様、No.2様　が書いてくださったように、私の最初の（い）とおく前提で
解かれていますので、この解法のようにやればできる、ということだったのでしょうか。
No.3様の解法でなく、できるよ、ということであれば、ぜひ教えていただけないでしょうか。

●また、No.3様の解答は、最後に　x＝４/９、y＝５/９　、u＝２/３、ｖ＝１/３　となって
これを
ＯＲ＝ｘＯＡ＋(３／５)ｙＯＢ
　　＝(２／３)ｕＯＡ＋ｖＯＢ
に、代入して答えを得ると思いますが、これは、チャート解法の1行目、
「↑OR＝ｘ↑OA ＋ y↑OBとする。」　　　ということを決めずに解いていった、
ということでよいのですよね？　
このように文字を４つ使って求める解法にまだ出会っていなかったので、参考に
なります。

何かお気づきの点などあれば、どなたでもささいなことでも、私の考え方のおかしな点の指摘など、
よろしくお願いします。

補足

もともとの私の考え方を、簡単にしか書いていなかったために、回答いただいた方々には
申し訳ありませんでした。たぶん皆様が想像されているところまでも私がいっていなかった
のではないかと思います。一応今考えているところまで、書きます。チャートの解答も。

●数IIB、チャート式（黄チャート）平成19年9月1日発行。３３３ページ。基本例題32

△OABにおいて、辺OAを ２：１ に内分する点をP、辺OBを ３：２ に内分
する点をQとする。また、線分AQ、BPの交点をR、線分ORの延長が辺AB
と交わる点をSとし、↑OA＝↑a、↑OB＝↑ｂ　とする。
（１）↑ORを↑a、↑ｂ を用いて表せ。

【チャート式の解法】
↑OR＝ｘ↑OA ＋ y↑OBとする。
↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　　↑OR＝ｘ↑OA＋５/３ｙ↑OQ　・・・（あ）
点Rは直線AQ上にあるから　　ｘ＋５/３y＝１　・・・(1)（係数の和が１　の利用）

↑OP＝２/３↑OAであるから　↑OR＝３/２x↑OP＋y↑OB
点Rは直線BP上にあるから　３/２x＋y＝１　・・・(2)（係数の和が１　の利用）

(1)、(2)を解いて　　x＝４/９　、　y＝１/３
したがって、　　↑OR＝４/９↑a + １/３↑ｂ　（↑OR＝ｘ↑OA ＋ y↑OBとする。に代入）

【私が最初にしたまちがった解法】
↑OR＝ｘ↑OA ＋ y↑OBとする。
↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　　　↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB　・・・（い）
点Rは直線AQ上にあるから　　ｘ＋３/５y＝１　・・・(11)（係数の和が１　の利用、、、のつもり）
（★）この時点ですでにyは↑OBを何倍かしたもの、であったはずなのに
３/５↑OB　を何倍かしたもの、ということを書いてしまっている。

同様に
↑OP＝２/３↑OAであるから　↑OR＝２/３x↑OA＋y↑OB　・・・（う）
点Rは直線BP上にあるから　２/３x＋y＝１　・・・(12)（係数の和が１　の利用、、、のつもり）
（★）こででもxは↑OAを何倍かしたもの、であったはずなのに
２/３↑OP　を何倍かしたもの、ということを書いてしまっている。

(11)、(12)を解いて　　x＝２/３　、　y＝５/９
したがって、　　↑OR＝２/３↑a + ５/９↑ｂ　（↑OR＝ｘ↑OA ＋ y↑OBとする。に代入）
（★）3点が一直線上にある場合
↑OR＝α↑OA＋β↑OB　（α＋β＝１）　であるのに、これを私は
図でイメージしたときに　↑OR＝↑OA＋↑OB　　とまったくイコールでイメージして
しまっていた、ということで反省しています。
だからこの問題で、↑ORを２つのベクトルにわけて考えるときに、↑OAと↑OBを基準にして
それらをある倍率で縮小して考えることになったのだと思っています。

正しくイメージするなら、α↑OAは線分OAの途中にあり、
β↑OBは線分OBの途中にある、という図をイメージしておくべきでした。
すると、↑ORを２つのベクトルにわけて考えたとき、△OPBの場合であれば
↑OP（↑OAでなく）と↑OB、また△OAQであれば↑OQ（↑OBでなく）と↑OA
を、自然と見るようになってチャート式の解法がスムーズに飲み込める気がしました。
この△OPBと、△OAQの２つのベクトルを、このように見ることが、すんなりと
できなかったところが私にとってスッキリしないところでしたが、今は見れる気が
します。自分の中ではなんとなくこれで解決した感じです。

（投稿の文字数がオーバーするので、いったんここできって続けて投稿します。）

回答No.8

R_Earl

ANo.1です。お待たせしました。

************************************************************
↑OR = x(↑OA) + y(↑OQ) …… (1)
とおく(結局この式は(い)と同じ)。
この(1)式を元に、次の二つを考える。

[a] 点Rが直線AQ上にあることを表す式
[b] 点Rが直線PB上にあることを表す式

[a] 点Rが直線AQ上にあることを表す式
(1)式においてx + y = 1なら、
それはそのまま「点Rが直線AQ上にあることを表す式」になっている。
よってx + y = 1 …… (2)

[b] 点Rが直線PB上にあることを表す式
(1)式を変形して、↑OPと↑OBのみで表せられる式に変形する。

↑OR
= x(↑OA) + y(↑OQ)
= x{(3/2)(↑OP)} + y(↑OQ)
= (3x/2)(↑OP) + y(↑OQ)
= (3x/2)(↑OP) + y{(3/5)(↑OB)}
= (3x/2)(↑OP) + (3y/5)(↑OB)

よって
↑OR = (3x/2)(↑OP) + (3y/5)(↑OB)
となる。
(3x/2) + (3y/5) = 1なら、
これは点Rが直線PB上にあることを表す式になっている。
よって(3x/2) + (3y/5) = 1 …… (3)

[a], [b]の(2), (3)より連立方程式

x + y = 1
(3x/2) + (3y/5) = 1

ができあがり、これを解くとx = 4/9, y = 1/3となる。
これを(1)式に代入して

↑OR
= (4/9)(↑OA) + (5/9)(↑OQ)
= (4/9)(↑OA) + (5/9){(3/5)(↑OB)}
= (4/9)(↑OA) + (1/3)(↑OB)

となる。
************************************************************

平面上に2本のベクトル↑aと↑bがあれば、
平面上の点Cの位置ベクトル↑cは
↑c = x(↑a) + y(↑b)
で表されます(公式1とおいておきます)。

特に点Cが直線AB上にある時、
↑c = x(↑a) + y(↑b)　(ただしx + y = 1)
となります(公式2とおきます)。

公式1を利用して点Rを指すベクトルの式を作っているのが(1)です
(公式2ではないことに注意して下さい)。
この公式1を利用して作った(1)式を変形し、
公式2の形になるようにするというのがチャート式の解法になっています
([a], [b]で(2)式, (3)式を作っているのがその過程です)。

お礼

No.1様
たしかにチャートの解法はそういうことのようですね。
なんとなく理解はできてきました。
ありがとうございました。

回答No.7

htms42

＃４、＃５です。
ＡＱ上の点ＲをＯＡ，ＯＱで表す式は
ＯＲ＝ｘＯＡ＋ｙＯＱ（ｘ＋ｙ＝１）

もしかしたらこの式を公式として受け取っているのではないでしょうか。（余計なことかも知れませんがちょっと気になりました。）

「ＡＱを引く」とあればＡＱを作ればいいのです。
Ｒがその上の点であれば
ＯＲ＝ＯＡ＋ｔＡＱ　　（０＜ｔ＜１）
とすればいいのです。
ＡＱ＝ＯＱ－ＯＡ
を代入して
ＯＲ＝(１－ｔ)ＯＡ＋ｔＯＱ
です。ｘ、ｙで表す式というのはこれを変形したものです。
図を書くのと同じような流れで式を作っていくのであればいきなり、ｘ、ｙを使うのでは名うてこのようにｔを使うほうがいいでしょう。
ＰＢ上ということであれば
ＯＲ＝ＯＰ＋ｓＰＢ
　　＝(１－ｓ)ＯＰ＋ｓＯＢ　　（０＜ｓ＜１）
です。
（ｔ＞１ならＡＱの延長線上の点をあらわしている事になります。ｔ＜０ならＱＡの延長線上にあります。これはｘ、ｙで表すよりもイメージが取りやすいでしょう。）

問題文にあるとおり図を書いていくのであれば
線分を１つずつベクトルで表していくというのが素直なんです。
交わっていればそこで表現が一致するはずです。
どういう方向に変形していくかは問題で問われている内容によって変わります。
でも出発点は問題にある指示の通りに作図するところから始まります。

お礼

>もしかしたらこの式を公式として受け取っているのではないでしょうか。（余計なことかも知れませんがちょっと気になりました。）

これはたぶん大丈夫なつもりです。
あくまで、交点Rを作っている2本の線分について、一方はｘとy、
一方はuとv、を使って↑ORを表し、ｘ＋y＝１、u＋ｖ＝１、とともに
連立方程式を解く、という一連の流れのパターンについて把握できた
つもりです。それも公式としてというより、１－ｔ　と　t　とおくところ
から発展させた形としても理解しているつもりですので、あとは
解いて定着を図るつもりです。
ありがとうございました。

回答No.6

R_Earl

ANo.1です。
質問者さんが間違えている原因が分かってきました。

> ↑OQ＝３/５↑OB　であるから、　　
> 　↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB　・・・（い）
> これで答えがでる、というのがよくわかりません。
>
> このようにおけば
> 　（い）・・・↑OR＝ｘ↑OA＋３/５ｙ↑OB
> は、↑OR＝ｘ↑OA＋ｙ（３/５↑OB）　　と見るしかなく、
> （う）・・・↑OR＝２/３x↑OA＋y↑OB　
> は、↑OR＝x（２/３↑OA）＋y↑OB　　と見るしかなく、
> 結果的にそこからは　x＋y＝１　しかでてこないような気が、、、

質問者さんが間違えている原因は、
「異なるものを同じ文字式でおいているから」です。

直線AB上に点Cがある時、点Cの位置ベクトルは
↑OC = x(↑OA) + y(↑OB)　(ただしx + y = 1)
となるという公式はあります。
おそらくですが、質問者さんはこれを今回の問題に当てはめて

[1] 点Rは直線AQ上にある
↑OR = x(↑OA) + y(↑OQ)　(ただしx + y = 1)

[2] 点Rは直線PB上にある
↑OR = x(↑OP) + y(↑OB)　(ただしx + y = 1)

と考えたのではないでしょうか？
それが誤りです。

実は「公式で使われている文字式」と「方程式の文字式」は別物なんです。
例えば二次関数の解の公式を考えてください。
ax^2 + bx + c = 0の解はx = { -b ± √(b^2 - 4ac) } / (2a)となるという公式があります。
でも、この公式を使う時、問題ごとに異なる値をa, b, cに代入して使うことになります。
2x^2 + 3x - 5 = 0の解を求めたい時はa = 2, b = 3, c = -5を代入して公式を使いますし、
5x^2 - x + 3 = 0の解を求めたい時はa = 5, b = -1, c = 3を代入して公式を使います。
このように、「公式の文字式というのは使う度に違う値を用いる」んです。

今回の問題もそうです。
[1]の場合と[2]の場合とでは、「異なるものに公式を当てはめる」ということをしています。
なので[1]に公式を適用した時のx, yと、
[2]に公式を適用した時のx, yは本来別物なんです。
質問さんが正解を導けない原因は、
この本来別物の「公式の文字式」をあたかも同一の文字式と見なしていることです。

本来別物なので、[1]と[2]を表現するんだったら、

[1] 点Rは直線AQ上にある
↑OR = x(↑OA) + y(↑OQ)　(ただしx + y = 1)

[2] 点Rは直線PB上にある
↑OR = u(↑OP) + v(↑OB)　(ただしu + v = 1)

のように異なる文字式を用いる必要があります
(ANo.5の方の方法と同じになると思います)。

時間がないので、とりあえず間違いの原因だけを書いてみました。
チャート式と同様の解法を用いて(い)式から答えを導く方法については、また今度書きます。

お礼

ありがとうございます。ここ数日考えているので、説明は
よくわかります。

>チャート式と同様の解法を用いて(い)式から答えを導く方法については、また今度書きます。

よろしくお願いします。

回答No.5

htms42

＃４です。
ＲはＡＱとＢＰの交点です。
ＡＱ上にある点をＯＡ，ＯＱで表す、
ＢＰ上にある点をＯＢ，ＯＰで表す
というのは素直な発想だと思います。
それを私は
↑ＯＲ＝ｘ↑ＯＡ＋ｙ↑ＯＱ　　（い）
　　　＝ｕ↑ＯＰ＋ｖ↑ＯＢ　　（う）
としました。
両方共を１組の変数ｘ、ｙで表すというのは無理があります。
間違いが生じる原因になります。（別のところでの計算が必要になってきます。）
２本の線の交点ですから必ず２本の線を現す式が必要です。
（質問文の中に（い）しか書かれていないということで（い）（う）がワンセットだという考えに至っていないのではないかなという風に思っていました。）

チャートの解法は最終結果が↑ＯＡ，↑ＯＢで表すことを要求しているのに合わせたものです。そこから逆に（い）（う）に戻ってくる流れになっています。（この戻るところがややこしいのです。間違う原因になります。）
結果を見越すということは大事な発想でしょうが、素直な流れでなければ、結局別のところで計算が必要であったり、間違いが起こりやすくなったりします。

お礼

＃４の、回答者：htms42様
ありがとうございます。
さきほどの返事で、私が　「No.3様」とかいたのは「No.４様」とのまちがいでした。すみません。

ご説明はよくわかるような気がします。
失礼ですが、「私は交点が出てくるときはいつもこのやり方です。」とのことですが、
私は今は数学IIですが、これから数学IIIに入っていくにあたって、交点の問題は、htms42様
の解法を最優先でつかっていくとよい、と思っていればよいでしょうか。
説明を読んでいてそう感じましたので、、、
「いつもこのやり方」という方針を疑っているのではなく、アレコレ考えてややこしくなるより、
「交点の問題はコレで解く」と最優先の解法を持っておれたら助かる、心強い、と思っているのです。
ですから、私がこれから今よりも上のレベルの問題に触れていくにあたって、
htms42様の解法を習得しておけば、交点がでてくる場合は困ったことないよ、とでも言っていただけ
たら私が安心します（笑）。チャート式の解法よりもこっち1本でやってしまいたいワケです。
htms42様が、そういった上のレベルの問題に触れてこられた方と感じましたので、その経験上どうなの
かと思いまして。

よろしくお願いします。

回答No.3

aidlii

チャートの解法がどうなっているか、一部分では判断できないところもあるのですが、恐らくＲが直線ＡＱ上にあるということを利用するためではないですか。Ｒが直線ＡＢ上にあれば（い）でもよいでしょうが、直線ＡＱ上にあるから、（あ）の形にして、
　ｘ＋５/３ｙ＝１
に話をもっていく。そういうことではないでしょうか。
　つまり下の公式を利用する変形ということではないかと思います。
　公式　点Pが直線AB上にあるとき
　　　↑OP＝ｓ↑OA＋ｔ↑OBとするとｓ＋ｔ＝１

お礼

ありがとうございます。
考えておられるような解法となっています。
その公式をつかいます。
それもわかって、解法もよんでわかっていて、
それでも考え方がうまく頭で整理できていない状況です。
もうちょっと整理できたら、書き込みます。
少し時間をください。

回答No.2

Tacosan

#1 に同意. どちらで計算しても同じ結果が出るはずです.
ちなみに個人的には (い) でおく. なんとなく (あ) は不自然な感じ.

お礼

一見、不自然な感じしますよね。
でもチャート式の本解なんですよね。
それから、別の本ですが、　山本敏郎のベクトル原則編　
でほぼ同じ問題がありまして、
これの回答が　青チャートといっしょの解法で
まずはやってあって、次にさらに進んだ解法
として、この黄チャートと同じ解法で解いてあるん
ですよ。。。（なぜか黄チャの解法が上扱い）
そこでもやっぱりこの不自然な感じ、とおっしゃっている
解き方なんですよねえええ。・・・。
少し考えてみますので、また数日したらのぞいてみてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl

> 質問ですが、（い）とすればなぜ正解がでてこないのか、なぜ（い）と最初におかないのか、
> いまひとつ理由がハッキリのみこめません。

(い)とおいても答えは出ます。
間違っているとしたら、その先の計算過程だと思います。

文字式yの役割を途中で変えていませんか？
「ベクトルORを作るために、ベクトルOQをy倍する」というのが文字式yの役割ですよね。
この役割を途中から「ベクトルOBをy倍する」という風に変えて式を作っていませんか？

もしよろしければ、どのような計算でベクトルORを算出したのかを教えてください。

お礼

お返事、さっそくありがとうございます。
少し考えますので１～2日お時間ください。
また数日したら、ぜひのぞいてください。
よろしくお願いします。