部分空間の基底の導き方

質問

1,1+x,x,1+x+x^2のベクトルの組によって生成されるP(R)の部分空間の基底を求めよ。
という問題なのですが、
c1(1)+c2(1+x)+c3(x)+c4(1+x+x^2)=0とおいて.......(*)
いろいろ変形していくと下のようになると思います。

1 0 -1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
.....(*)(*)
これによって
{c1,c2,c3,c4}={1,-1,1,0}t
などと表せると思うのですが、

この後「c2=0」のとき(*)を満たすc1,c2,c4はc1=c2=c4=0に限るとあるのですが
なぜここで「c2=0」としたのでしょうか。
これまではずっと(*)(*)のように被約階段行列にしたあとの結果がきれいに行えてない(?)列、
ここでは
-1
1
0
となっているc3を0にして作業を行い、結果c3の列が基底になるものだと思っていました。

よろしくお願いします。

回答No.2

sunabo

直感的な回答です。

P(x)=(1,1+x,x,1+x+x^2)の形は?
xが実数ぜんぶを暴れまわるときP(x)はどんな形になるかな?

x=0のとき、P(0)=(1,1,0,1)
x=-1のとき、P(-1)=(1,0,-1,1)
x=-2のとき、P(-2)=(1,-1,-2,3)
4次元空間上の馬の鞍みたいな形かな。
平面と立体の間くらいかな。

P(x)はxについて、０乗と１乗と２乗の区別があって、
別の表現ができるな。

P(x)=(1,1+x,x,1+x+x^2)=(1,0,0 )　　(1 )　
　　　　　　　　　　　(1,1,0 )　X (x )　
　　　　　　　　　　　(0,1,0 )　　(x^2)
　　　　　　　　　　　(1,1,1 )

上の３つの行(1,0,0)と(1,1,0)と(0,1,0)は足したり引いたり
して、二つにまとめられるな。4つ目の行(1,1,1)は他の3つ
と違うな。

基底はだいたい3個になりそう。
1とxとx^2の制約がありそうだから、2.5個くらいかな。
何行のベクトルで書けばいいかわからないです。

えいやっっとズヴァリ列に見ることにします。
(1,1,0,1)と(0,1,1,1)と(0,0,0,1)の3つが
P(x)=(1,1+x,x,1+x+x^2)の基底ベクトルです。

参考URL：

http://senkei.nomaki.jp/basis.html

回答No.1

jcpmutura

y1=1
y2=1+x
y3=x
y4=1+x+x^2
のベクトルの組によって
生成されるP(R)の部分空間をSとする

c1(y1)+c2(y2)+c3(y3)+c4(y4)=0
↓
c1(1)+c2(1+x)+c3(x)+c4(1+x+x^2)=0…(*)
↓
c1+c2+0.+c4=0
0.+c2+c3+c4=0
0.+0.+0.+c4=0
0.+0.+0.+0.=0
↓
(1,1,0,1)(c1)=(0)
(0,1,1,1)(c2).(0)
(0,0,0,1)(c3).(0)
(0,0,0,0)(c4).(0)
↓1行目から2行目を引く
(1,0,-1,0)(c1)=(0)
(0,1,1.,1)(c2).(0)
(0,0,0.,1)(c3).(0)
(0,0,0.,0)(c4).(0)
↓2行目から3行目を引く
(1,0,-1,0)(c1)=(0)
(0,1,1.,0)(c2).(0)
(0,0,0.,1)(c3).(0)
(0,0,0.,0)(c4).(0)
↓
c1-c3=0…(a)
c2+c3=0…(b)
c4=0…(c)

c2=0…(d)
の時(*)を満たすとすると
これを(b)に代入すると
c3=0…(e)
これを(a)に代入すると
c1=0…(f)
(c),(e),(f)から
c1=c3=c4=0
だから
y1,y3,y4
は1次独立で
y2=y1+y3
だから
(y1,y3,y4)=(1,x,1+x+x^2)
はSの基底となる

y1,y3,y4
が1次独立である事を示すために
「c2=0」とした

y1,y2,y4
が1次独立である事を示す場合は
「c3=0」とする

c3=0…(e)
の時(*)を満たすとすると
これを(a)に代入すると
c1=0…(f)
(e)を(b)に代入すると
c2=0…(d)
(c),(d),(f)から
c1=c2=c4=0
だから
y1,y2,y4
は1次独立で
y3=y2-y1
だから
(y1,y2,y4)=(1,1+x,1+x+x^2)
はSの基底となる

y2,y3,y4
が1次独立である事を示す場合は
「c1=0」とする

c1=0…(f)
の時(*)を満たすとすると
これを(a)に代入すると
c3=0…(e)
これを(b)に代入すると
c2=0…(d)
(c),(d),(e)から
c2=c3=c4=0
だから
y2,y3,y4
は1次独立で
y1=y2-y3
だから
(y2,y3,y4)=(1+x,x,1+x+x^2)
はSの基底となる