ある人と比べ体重がA倍なら、サイズはAの三乗根

質問

いつもお世話になっております。

質問のタイトル通りです。
ある生化学の問題で酸素消費量は巨大な生き物の方が少ないという相関性がある。
というものの照明のために穴埋め問題で問題を解いていました。

そしてある人と比べ、その人の体重がA倍なら、サイズは( )である。

よって、体表面積はA^(2/3)となり、
単位時間当たりの酸素の消費量は体重の2/3乗に比例する。

という問題でした。
ここでカッコには
^3√A
がと書いてありました。

そうなれば、体表面積は4πr^2だからこの(^3√A)^2をすれば、A^(2/3)になることはわかったのですがそもそも、なぜ、体重がA倍だとサイズはAの三乗根になるのでしょうか。

ご指導お願い申し上げます。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

重さ＝密度×体積
体積＝長さ^3

というのが基本的な考え方です。

立方体では正確に上の関係は成り立ちます。

球では体積は(4π/3)×半径^3です。つまり形状によって長さの取り方（代表長さといいます）と比例係数を考える必要があります。相似形の物体は比例係数は同じで代表長さ^3に体積は比例します。

人体のように骨と筋肉では密度が違ういわば混合物では平均密度のようなものを導入すれば

体重＝平均密度×体積

とみなすことができます。人体においては例えば慎重を代表長さにとれば体積は身長^3に比例することになりこの比例係数をk,密度をρとすると

体重＝ρ×k×身長^3　　　　　　　　　　　　（1）

ということになります。

実際は太った人、やせた人でkは違うでしょう。また骨密度に違いによってρも変わるでしょう。しかし近似的には（1）は成り立つと考えられます。

(1)より

身長=C×体重^(1/3) (2)

を導くことができます。Cはρとkによって構成される別の比例定数です。

お礼

step by stepで大変わかりやすいご指導誠にありがとうございます。

お陰様で単に三乗根になっているわけではなく、定数が存在している中での検討の上で考察しているということもわかりましたし、それ以上に三乗根になることに永遠に悩んでいたことから解放されました。

本当にありがとうございます。

回答No.2

staratras

単純なモデルを考えた方がわかりやすいと思います。1辺が1の立方体(サイコロ型）の形をした生物がいるとします。この生物の大きさ(1辺）がA倍になったとすれば、体積はAの3乗倍になりますので、体重もAの3乗倍になります。

これを逆に考えれば、もし体重がA倍になったとすれば、大きさ(1辺の長さ）はAの3乗根倍になるはずです。

お礼

単純明快でありながらも最大限の説明をしてくださり誠にありがとうございます。

お陰様でパパパッと本当にわかりやすく理解することができました。

今後ともご指導お願い申し上げます。