信号とスペクトラム

質問

正弦波信号のスペクトラムはその周波数に相当する線スペクトルが出きる。
これを用いて搬送波に位相変調をかけると搬送波から変調波（正弦波）の周波数に相当した場所に線スペクトルが出ることは理解しているつもりですが、

何故、こうなるかと聞かれると、旨く説明出来ません。
数式では無く、旨く言葉で理解したいのですが、

回答No.5

Teleskope · ベストアンサー

>> そもそも何故100kHz離れた上下にJ1のスペクトラムが発生するかをベッセル関数とか計算式等を用いず理解したい　<<

　「数式なしでフーリエ変換を理解したい」ですか。。

１．
　そうでなく、「いきなり級数の数式だけの説明では変調動作が見えてこない」というのならお気持ちは分かります。　クルマを知らない人が バラバラの部品を並べて見せられて 動いてるクルマを想像するのは 普通無理です。 動いてるクルマを熟知してる人なら部品展示を見せられても意味分かるし楽しいですよね。
じつは 級数展開の式よりも、No4で示されている 「瞬時周波数」 の概念の方が本当の基本なんです。さわりだけの入門解説書には書いてないかも知れませんが、PLLなどで実際に設計する時はこの概念が不可欠です。No4の説明で想像がつくと思いますが、交流理論で習う回転ベクトルです。
　変調をすなおに表現してるのは、フーリエ変換されたスペクトル周波数ではなく 瞬時周波数の方です。

２．
　式を一つだけ使った説明をします。
三角波の電圧波形を想像してください。
　　 ／＼　　　／＼
　／　　　＼／　　　＼／

　昇り坂の式は直線だから
　　y = aｔ
です。
昇り直線的に位相変調してみましょう。
　　sin（ωcｔ＋ａｔ）
ｔでくくると、
　　sin（(ωc＋ａ)ｔ）
となって 1000MHz＋100kHz のような項が簡単に…

　下り坂の式は
　　y = －at
ですから、
　　sin（(ωc－ａ)ｔ）
となって 1000MHz－100kHz のような項が…

（ sin波の場合に興味があったら「補足」に書いてください。　学生ではありませんよね、なにか資格取得の勉強とかですか？）

お礼

判りやすい説明有り難うございました。

これまで、惰性で勉強してきた内容、例えば計算式も「始めに計算式ありき」の様な感じで丸暗記するような雰囲気で勉強し、それなりに理解したつもりでしたが、生徒きら、「式は理解したが、どうして、そうなるの？式って、元々、何らかの現象を説明するために後付でできたものでしょ？」等と素直に聞かれ、なかなか旨く説明出来ず困っていたところです。
皆様のご説明を参考に、より一層勉強していきたいと思います。

有り難うございました。

回答No.9

Teleskope

>> 生徒から「式は理解したが、どうして、そうなるの？式って、元々、何らかの現象を説明するために後付でできたものでしょ？」等と素直に聞かれ、なかなか旨く説明出来ず困っていたところです。<<

　その聡明な生徒さんうちに来て欲しいです、ｗ　教科書で取り上げられるような基本的な変調はどれも線形性を保ってるので例え話にこと欠かないと思いますが、情報を乗せる/取り出す、という本質が前面に出てるのがよろしいと思います。

回答No.8

keyguy

ところで（搬送波抑圧）振幅被変調波
ｆ（ｔ）・ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ）
のフーリエ変換を出してみてください

これができなければ振幅変調の原理も理解できていないとことになります

回答No.7

keyguy

気が変わりました
またつまらない間違いを修正します
まだあるので前後の文脈から判断してください

被変調波
Ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ）
のフーリエ変換は
Ａ・（δ（ｆ－ｆ０）＋δ（ｆ＋ｆ０））／２
です（線スペクトル）
πに対して十分に小さい変調をし変調波を
ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ１・ｔ）
とします
被変調波は
Ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ＋ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ１・ｔ））
となり加法定理を使いａの絶対値がπに比べて十分小さいとして近似すると
Ａ・（ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ）－ａ・ｓｉｎ（２・π・ｆ０・ｔ）・ｃｏｓ（２・π・ｆ１・ｔ））
となる
あとは三角関数の積を和に直す公式を使いましょう
ｓｉｎとｃｏｓのなかにｆ１±ｆ０が出てくるので明らかだね

なおｘの絶対値がπに比べて十分小さいときに
ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ
ｃｏｓ（ｘ）＝１
とみなせることを使った

初期に位相を持たせるほうがいいが煩雑になるので止めた

ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ
ｃｏｓ（ｘ）＝１
の近似が使えなければ高調波成分が出てくる

お礼

判りやすい説明有り難うございました。

これまで、惰性で勉強してきた内容、例えば計算式も「始めに計算式ありき」の様な感じで丸暗記するような雰囲気で勉強し、それなりに理解したつもりでしたが、生徒きら、「式は理解したが、どうして、そうなるの？式って、元々、何らかの現象を説明するために後付でできたものでしょ？」等と素直に聞かれ、なかなか旨く説明出来ず困っていたところです。
皆様のご説明を参考に、より一層勉強していきたいと思います。

有り難うございました。

回答No.6

mmky

参考程度に

線形の回路でしたら変調周波数と被変調周波数の足されたものしか出てきません。つまり a+b=(a+b) ですね。振幅変調や位相変調回路というのは非線形を利用しているのです。非線形回路だから二乗項や三乗項が出てくるのです。この二乗項や三乗項が一般に呼ぶビートをもたらすんですね。このビートが正弦や余弦関数の合成で表されるということです。

お礼

判りやすい説明有り難うございました。

これまで、惰性で勉強してきた内容、例えば計算式も「始めに計算式ありき」の様な感じで丸暗記するような雰囲気で勉強し、それなりに理解したつもりでしたが、生徒きら、「式は理解したが、どうして、そうなるの？式って、元々、何らかの現象を説明するために後付でできたものでしょ？」等と素直に聞かれ、なかなか旨く説明出来ず困っていたところです。
皆様のご説明を参考に、より一層勉強していきたいと思います。

有り難うございました。

回答No.4

abyssinian

２台のバイクが円形コースを周回している。１分間に100周の超スピード。

１台は一定のペースで走っている。こいつを基準と呼ぼう。
もう1台は君だとする。

コース一回りは、角度では360度。
２台が併走してる状態では、基準と君の角度差は0。

君が基準バイクより進んだ角度になるためには、スピードを上げて前に出る必要がある。
もしその上げたスピードのままずっと走れば、１分間の周回数は基準バイクより多い。すなわちスピード上げてる間は周波数が高い。

スピードを正弦波的に変化すれば周波数も連続的に変化する。基準バイクの周波数より上がったり下がったり、その分布の形がベッセル関数。

こんなイメージでどっかな。

お礼

判りやすい説明有り難うございました。

これまで、惰性で勉強してきた内容、例えば計算式も「始めに計算式ありき」の様な感じで丸暗記するような雰囲気で勉強し、それなりに理解したつもりでしたが、生徒きら、「式は理解したが、どうして、そうなるの？式って、元々、何らかの現象を説明するために後付でできたものでしょ？」等と素直に聞かれ、なかなか旨く説明出来ず困っていたところです。
皆様のご説明を参考に、より一層勉強していきたいと思います。

有り難うございました。

回答No.3

keyguy

間違い修正版
他の間違いはもう直しません

被変調波
Ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ）
のフーリエ変換は
Ａ・（δ（ｆ－ｆ０）＋δ（ｆ＋ｆ０））／２
です（線スペクトル）
πに対して十分に小さい変調をし変調波を
ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ１・ｔ）
とします
変調波は
Ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ＋ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ１・ｔ））
となり加法定理を使いａの絶対値がπに比べて十分小さいとして近似すると
Ａ・（ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ）－ａ・ｓｉｎ（２・π・ｆ０・ｔ）・ｓｉｎ（２・π・ｆ１・ｔ））
となる
これをフーリエ変換すればわかるでしょう
いやならば三角関数の積を和にの公式を使いましょう
（第２項が平衡変調になっているからしなくても分かると思いますが）

なおｘの絶対値がπに比べて十分小さいときに
ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ
ｃｏｓ（ｘ）＝１
とみなせることを使った
この近似が使えなければ高調波成分が出てくる
厳密には両者に位相をもたせてやればいいが必要が無いでしょう

お礼

判りやすい説明有り難うございました。

これまで、惰性で勉強してきた内容、例えば計算式も「始めに計算式ありき」の様な感じで丸暗記するような雰囲気で勉強し、それなりに理解したつもりでしたが、生徒きら、「式は理解したが、どうして、そうなるの？式って、元々、何らかの現象を説明するために後付でできたものでしょ？」等と素直に聞かれ、なかなか旨く説明出来ず困っていたところです。
皆様のご説明を参考に、より一層勉強していきたいと思います。

有り難うございました。

回答No.2

keyguy

簡単のため変調波、被変調はの位相を勝手に決めます

被変調波
Ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ）
のフーリエ変換は
Ａ・（δ（ｆ－ｆ０）＋δ（ｆ＋ｆ０））／２
です（線スペクトル）
πに対して十分に小さい変調をし変調波を
ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ１・ｔ）
とします
変調波は
Ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ＋ａ・ｃｏｓ（２・π・ｆ１・ｔ））
となり加法定理を使いａの絶対値がπに比べて十分小さいとして近似すると
Ａ・（ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ）＋ａ・ｓｉｎ（２・π・ｆ０・ｔ）・ｓｉｎ（２・π・ｆ１・ｔ））
となる
これをフーリエ変換すればわかるでしょう
いやならば三角関数の積を和にの公式を使いましょう
（第２項が平衡変調になっているからしなくても分かると思いますが）

なおｘの絶対値がπに比べて十分小さいときに
ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ
ｃｏｓ（ｘ）＝１
とみなせることを使った
この近似が使えなければ高調波成分が出てくる
厳密には両者に位相をもたせてやればいいが必要が無いでしょう

お礼

判りやすい説明有り難うございました。

これまで、惰性で勉強してきた内容、例えば計算式も「始めに計算式ありき」の様な感じで丸暗記するような雰囲気で勉強し、それなりに理解したつもりでしたが、生徒きら、「式は理解したが、どうして、そうなるの？式って、元々、何らかの現象を説明するために後付でできたものでしょ？」等と素直に聞かれ、なかなか旨く説明出来ず困っていたところです。
皆様のご説明を参考に、より一層勉強していきたいと思います。

有り難うございました。

回答No.1

ymmasayan

少し誤解があるようです。
一定の位相で位相変調がかかっている時には、変調された波のスペクトルは、
搬送波のスペクトルと一致します。
位相が変化している時には位相の微分に相当する分だけ搬送波の周波数が変化します。

補足

当方の理解が足りないため、質問が不適切だったかも知れません。

例えば、1000MHzの搬送波、無変調だと、スペクトラムアナライザで見たとき、1000MHzの所に線スペクトラムが有りますよね。これに100kHzの正弦波で位相変調すると、1000MHzの上下100kHz離れたところにJ1に相当する波が出てきます。J0とJ1の振幅差は、変調度によると思いますが、そもそも、何故、100kHz離れた上下にJ1のスペクトラムが発生するかをベッセル関数とか、計算式等を用いず理解したいのですが、、