円の交点

質問

２円x^2+y^2=25,(x-a)^2+(y-2)^2=9が、２点A、Bで交わっている時、ABの長さが最大になる時のaの値を求めよ。

ご教示、宜しくお願い致します。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

円C1：x^2+y^2=25 ：中心O1(0,),半径5,
円 C2：(x-a)^2+(y-2)^2=9：中心O2(a,2), 半径3
が、２点A、Bで交わっているという状況を絵にできましたか。C1は決まりますが、C2は中心O2の位置がy=2 の線上にあって、O2をこの線上を動かすときABを最大にせよということです。
この問題のポイントは２つあります。
(1)　AB⊥O1O2
(2) ABが最大の時、AB=C2の直径＝6
です。絵を見て納得できますか。
よって
AO2＝BO2＝3
です。よって⊿AO1O2と⊿BO1O2は合同で直角三角形になります。
従って
AO1^2=AO2^2+O1O2^2
となり、
AO1=5, AO2=3, O1O2^2=a^2+4
なので
5^2=3^2+a^2+4
これより
a^2=12
a=±２√3

お礼

解りやすい回答、どうも有難うございました。
勉強になりました。

回答No.3

noname#215361

場つなぎにANo.1の補足です。
2円のうちの前者円1の中心をO1、後者円2の中心をO2とした場合に、△O1AO2と△O1BO2が合同な直角三角形になることを証明するのであれば、三角形の合同条件3つのうちの何れを満たすのかまで及ぶ必要があると考えます。

線分ABの長さが最大になるのは、ANo.1で回答したように線分ABの長さが円2の直径である6の時であり、O2は必然的に線分ABの中点になります。
△O1AO2と△O1BO2において、
O1A=O1B=5（同一円の半径）
AO2=BO2=3（同一円の半径）
O2O1は共通
よって、3辺の長さがそれぞれ等しく、△O1AO2≡△O1BO2
対応する角の大きさは等しく、∠AO2O1=∠BO2O1=90°
これから、△O1AO2と△O1BO2は合同な直角三角形であることがわかり、ANo.1で回答したように三平方の定理を用いることができます。

お礼

丁寧にご回答頂き、本当に有難うございました。
よい勉強になりました。

回答No.1

noname#215361

線分ABの長さが最大になるのは、線分ABの長さが円(x-a)^2+(y-2)^2=9の直径である6の時です。
この時、2円の中心間の距離の2乗は、三平方の定理からa^2+2^2=a^2+4
さらに、三平方の定理から次の関係が成り立ちます。
a^2+4+9=25
これから、a=±2√3

お礼

解りやすい回答、どうも有難うございました。