対称式に詳しい方おしえてください。

質問

Ｆｘｙｚ＝ｘ＾３＋ｚ＾３＋（ｘ＋ｚ）ｙとするとき
（１）ｘ、ｙ、ｚの置換を行って得られるすべての相異なる整式をおしえてください。
（２）それらの和を基本対称式Ｓi(i=0,1,...,n)の整式で表しかたをおしえてください。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

（１）
巡回置換（順番に回るように入れ換える置換）
/x y z\
\y z x/
によって
（これはxをyにyをzにzをx置き換える置換のことです。）

F(x,y,z) = y^3 + z^3 + (x + y) z

という整式が得られます。（単に文字を書き換えるだけです。）
同様に残りの巡回置換
/x y z\
\z x y/
および３つの互換（２つの要素を入れ換える置換）
/x y z\
\y x z/
/x y z\
\z y x/
/x y z\
\x z y/
によって合計６つの整式が（最初のオリジナルの式も含めて）得られます。

（＊）注意していただきたいこと。この質問の場合は異なる置換には異なる整式が対応して
いますが、一般にはそうとは限らないことです。例えば

F(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3

であれば３つ文字をどう入れ換えても式は変わりませんから
＞ｘ、ｙ、ｚの置換を行って得られるすべての相異なる整式。
は元の式ただ１つしかありません。

また
F(x,y,z) = (x+y)z
であれば
互換
/x y z\
\y x z/
は式の値を変えないし、互換
/x y z\
\x z y/
による結果と巡回置換
/x y z\
\z x y/
による結果は同じになりますから、本質的に異なるものは３つしかありません。

（２）
＞それらの和を基本対称式Ｓi(i=0,1,...,n)の整式で表しかたをおしえてください。
ってのはどういう意味でしょう。それらの和とは上で求めた６つの式の和という意味でしょうか
また３変数なら基本対称式はxyx, x+y+z, xy + yz + xz の３種類ですがそれで表すということで
よろしいでしょうか。

上で求めた６つの式の和は
4(x^3 + y^3 + z^3)+ 2(x+y)z + 2 (y+z)x + 2 (x+z)y
= 4 [ (x^3 + y^3 + z^3) + (xy + yz + xz)]
となります。あとは
x^3 + y^3 + z^3を基本対称式で表せばＯＫですね。
x^3 + y^3 + z^3を基本対称式で表す方法は有名な因数分解の公式
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ( x + y + z )(x^2 + y^2 + z^2 -xy -yz -xz )
を変形すれば簡単に出来るのでご自分で考えてみて下さい