数学

質問

解析 解き方教えてください。
次の関数の第2次偏導関数をすべて求めよ
1. z= xysinxy
2. z= arctanxy

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

1. z= xysinxy

∂z/∂x=ysin(xy)+xycos(xy)y=ysin(xy)+xy^2cos(xy)
∂z/∂y=xsin(xy)+xycos(xy)x=xsin(xy)+x^2ycos(xy)
∂^2z/∂x^2=y^2cos(xy)+y^2cos(xy)+xy^3(-sin(xy))=2y^2cos(xy)-xy^3sin(xy)
∂^2z/∂x∂y=sin(xy)+xycos(xy)+2xycos(xy)-x^2y^2sin(xy)=sin(xy)+3xycos(xy)-x^2y^2sin(xy)
∂^2z/∂y^2=x^2cos(xy)+x^2cos(xy)-x^3ysin(xy)=2x^2cos(xy)-x^3ysin(xy)

2. z= arctanxy
tanz=xy
∂(tanz)/∂x=(∂z/∂x)d(tanz)/dz=(∂z/∂x)d(sinx/cosz)/dz=(∂z/∂x)(-1/tan^2z)=y
∂z/∂x=-ytan^2z=-y(xy)^2=-x^2y^3
∂(tanz)/∂y=(∂z/∂y)d(tanz)/dz=(∂z/∂y)d(sinx/cosz)/dz=(∂z/∂y)(-1/tan^2z)=x
∂z/∂y=-xtan^2z=-x(xy)^2=-x^3y^2
∂^2z/∂x^2=∂(-x^2y^3)/∂x=-2xy^3
∂^2z/∂x∂y=∂(-x^2y^3)/∂y=-3x^2y^2
∂^2z/∂y^2=∂(-x^3y^2)/∂y=-2x^3y