必要十分条件

質問

素朴な質問です。

ｍ≧０、ｎ≧０のとき、

ｍ×ｎ≠０ならば、ｍ＞０かつｎ＞０としてよいか。

この逆は真だとわかるのですが。

回答No.2

noname#212313 · ベストアンサー

> ｍ≧０、ｎ≧０のとき、ｍ×ｎ≠０ならば、ｍ＞０かつｎ＞０としてよいか。

　よいですよ。m, nは0以上と与えてありますから、m×n≠0を満たすm, nがどんな値を取るかを考えてみます。このままでは証明しにくいので、

命題「m×n≠0ならば、m＞0かつn＞0である」

の対偶を取って、

対偶１「『m＞0かつn＞0』でないなら、m×n≠0でない。」
　↓
対偶２「m≦0またはn≦0なら、m×n＝0である。」
　↓
対偶３「m＝0またはn＝0なら、m×n＝0である。」
　（↑問題の条件で示されている「m≧0かつn≧0」を使っている）

を証明すればよいです。対偶３は成り立つのが自明といっていいくらいですから真で、命題の対偶の真偽は一致しますから、元の命題も真です。

お礼

ありがとうございます。こういうのは、なんとなくよいだろうとやりすごしがちですが、ちょっと気になったのです。

回答No.1

86tarou

ｍ×ｎ≠０はmnどちらかが０だと成り立たないので、言い方を変えるとどちらも０でないということになります。
なので、ｍ＞０かつｎ＞０で問題ないかと思いますよ。