合同変換の必要十分条件

質問

R^n上の合同変換の意味を本来の素朴な意味(大きさと形を変えないという意味)として捉えるために、どのような必要十分条件を記述すればよいかと思いました.私は次のようにしたらよいと思いましたがそれでいいのでしょうか?

1.　連結で滑らかでない部分は等角変換になっている
2.　連結で滑らかな部分は等曲率変換になっている
3.　等距離変換
(4. あまり本質的でないですが0を0に移す)

ついでに次も同値になっていると思います.
1.　等内積変換

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

どういう意図の質問か理解しにくいのですが、本来、「R^n上の合同変換」というのは、素朴な合同変換を拡張した概念です。
したがって、「R^n上の合同変換」は「R^n上の等距離変換（等長変換）」として定義されます。

素朴なR^2上の合同変換の定義もR^2上の等長変換として定義されます。このとき、よく誤解されるのですが、「平らな紙の上に三角形を描き、次に、その紙を円筒形に丸めたとき、円筒形に丸められた紙の上の三角形と、もとの平面上の三角形は合同か？」という質問が出されます。

正解はR^2からR^2への変換として合同です。
（R^2からR^3への変換と考えると合同にはなりませんが）

ご質問とは関係ないことを書いてしまったかも知れません。すみません。ご質問の内容に答えるならば、
３番の、等距離変換が正解となります。

お礼

ありがとうございます.
合同変換の定義は等長変換だったんですね.
また補足で付け加えると思います.
よろしくお願いします.