トランプカードの組み合わせ

質問

ジョーカーを除いたトランプカードから4枚を取り出したとき、4枚の数の積が１２０になる組み合わせは何通りあるか。ただし、カードの図柄は考えなくてよい

という問題で、
9通りになるのですが、一つ一つ当てはめて解いてると時間がかかってしまいます。
合理的に、早く解く方法などありますでしょうか？

回答No.6

hinebot

#5です。

>120の約数のうち13を超えないものを列挙します。すると
>1,2,3,4(=2^2),6(=2×3),8(=2^3),10(2×5),12(2^2×3)
>の8つです。

済みません。"5"が抜けてました。全部で9つですね。
（もっとも、これより後の文ではちゃんと"5"も考慮してます。）

回答No.5

hinebot

まず、１２０を素因数分解します。
（素因数分解は分かりますよね？）

120 = 2^3×3×5

トランプですから、120の約数のうち13を超えないものを列挙します。すると
1,2,3,4(=2^2),6(=2×3),8(=2^3),10(2×5),12(2^2×3)
の8つです。あとは(　)の中と
120 = 2^3×3×5
なので、２は３つまで、３と５は１つずつしか使えないことに注意して組合せを考えると
1,1,10,12
1,2,5,12
1,3,4,10
1,3,5,8
1,2,6,10
1,4,5,6
2,3,4,5
2,2,5,6
2,2,3,10
の9通りであることが分かります。

※もう少し計算を使って解く場合
１が3枚はありえないので、１は2枚以下です。
(1)１が2枚のとき
残り2枚の組合せは 10,12 以外にはありません。
なので1通り

(2)１が1枚のとき
2,2,2,3,5　から３つの数字に分解します。
3×5=15 ＞13 なので、
3と5 は３つの数字に分けたとき必ず分かれることに注意すると３つの数字は
2×?
3×?
5×?
となります。
あとは、残り２つの２をどう配分するかです。
２を１つずつ配分するのは 3Ｃ2 = 3通り
２を２つまとめて（×4とする）のは 3Ｃ1 =3通り
ですが、5×4 =20 ＞13 なので、この1通りを引いて
3+3-1 = 5通り　となります。

(3)１が０枚のとき
2,2,2,3,5　から４つの数字に分解します。
すると
１つ、１つ、１つ、２つ
と分けるしかありません。
最後の２つの組合せを決めてしまえば、あとの３つは自明ですね。
ここで、２が重複しているので
2,3,5の３つから２つ選ぶ組合せを考えて
3Ｃ2 = 3通り
これに、２を２つ選ぶ場合1通りを足して　3+1=4通り。
しかし、3×5=15 ＞13 なので、この分を引いて
結局は　3通りとなります。

(1)～(3)を全部足して
1+5+3 = 9通り
となります。

お礼

ありがとうございます、素因数分解とは、気づきませんでした。
このやり方だと、確かにやり易く
かなり時間が削減できて解けそうです。
参考に何度か自分でトライしてみます。

大変ありがとうございました。

回答No.4

Buchikun

回答からつらつら考えてみました。
120を素因数分解すると、2x2x2x3x5になりますよね。
このままだと、トランプが5枚になってしまいますから、このうちの一組を掛けた数字と残りの素数の組み合わせが回答になるはずです。(例：4x2x3x5)
5個の数字の一組を掛け合わせる組み合わせは10通りですが、(総当たり戦の組み合わせの式、4+3+2+1)そのうち3ｘ5はトランプに無い数字です。
よって9通りの組み合わせが考えられます。
と、思ったのですが...
図柄は考えないとの事なので、同じ数字で重なる部分は除外できますよね？
つまり、上記の方法では
2x4x3x5と4x2x3x5は別の組み合わせとしてカウントしておりますが、図柄を考えないトランプであれば同じ組み合わせと考える事が出来ます。

実際に5個の数字の組み合わせを考えると、
トランプの組み合わせは
4x2x3x5
2x2x6x5
2x2x3x10

の三通りしか無いように思うのですが...。
回答は9通りなんですよね？
うーん。
自信なしどころか、場を混乱させただけかもしれません。
失礼しました。
でも折角書いたから投稿しておきます。
あー、そういえば、12x10x1x1や8x3x5x1もありますものね。やっぱり、この方法は駄目みたいです。
素因数から考えるのは合っていると思うんですけどね。
元になる数字が1/2/3/4/5/6/8/10/12のうち4つ使って120となる数字の組み合わせを探す、って事ですね。
む、難しい。

回答No.3

cojirou

＃２です。
ごめんなさい、やや抜けていました。
120＝1×2×2×2×3×5
なので、1が入る場合を考えなくてはないですね。
失礼致しましたm(_ _)m

回答No.2

cojirou

120を素因数分解すると、2×2×2×3×5。
ここから、トランプの数字1～13に当てはまる範囲で
４つの数字の組み合わせを考えると、
[2，3，4，5]、[2，2，5，6]、[2，2，3，10]
の三つの組み合わせになる。
この組み合わせになる回数を数える。
私ならそうします。
ご参考までに。

お礼

ありがとう、ございます。
確かに、その考え方だと途中経過がかなり、省略できすべてのパターンをだるより、はるかに楽に考えれますね☆彡

自分なりにがんばってみます。
また、何かありましたらご指導お願いいたいます。

回答No.1

quoth

１２０を素因数分解して考えればいいのではないでしょうか？

１２０を素因数分解すると
１２０＝２＾３×３×５
これからできる数字で組み合わせればＯＫだと思います。
必ずしも４つに分けなくてもいいのがポイントかな。

未確認ですが、いけそうですよ。