二重積分

質問

∬x dxdy

r≧a, r≦2asinθ(0≦θ≦π/2)

解法が分からないのでよろしくお願いします。

回答No.3

noname#232123 · ベストアンサー

I=∫∫[D]xdxdy とします。

∫[√(a^2-x^2) to (a+√(a^2-x^2))]xdy+∫[(a-√(a^2-x^2)) to (a+√(a^2-x^2))]xdy
=ax+2x√(a^2-x^2).

よって、
I=∫[0 to √3a/2]axdx+∫[√3a/2 to a]2x√(a^2-x^2)dx
=(a/2)[x^3] + (-2/3)[(a^2-x^2)^(3/2)]
=(3/8)a^3+(1/12)a^3=(11/24)a^3.
となります。
---------------------------------
※ 積分範囲Ｄを図示してください。
r=a ... 中心Ｏ、半径aの円周,
r=2a*sinφ ... r^2=2a*rsinφより、x^2+(y-a)^2=a^2.

回答No.4

info222_

No.1です。

ANo.1はa=1の場合の解答です。

一般の定数a(>0)の場合だと以下のような解答になります。
I=∬[D] x dxdy
D={(r,θ)|r≧a, r≦2asinθ(0≦θ≦π/2)}
={(x,y)|x^2+(y-a)^2≦a^2,x^2+y^2≧a^2,x≧0}
I=∫[a,2a] dy ∫[0,(a^2-(y-a)^2)^(1/2)] xdx
+∫[a/2,a] dy ∫[(a-y^2)^(1/2),(a^2-(y-a)^2)^(1/2)] xdx
=∫[a,2a] (1/2)(a^2-(y-a)^2) dy
+∫[a/2,a^2] (1/2){(a^2-(y-a)^2)-(a^2-y^2)} dy
=(1/2)∫[a,2a] (2ay-y^2)dy+(1/2)∫[a/2,a] (2ay-a^2)dy
=(1/2)[ay^2-y^3/3][a,2a]+(1/2)[ay^2-a^2y][a/2,a]
=(1/2)(3a^3+a^3/3-8a^3/3)+(1/2)(a^3/2-a^3/4)
=a^3/3+a^3/8
=(11/24)a^3 ... (答)

お礼

いつもありがとうございます。(#^.^#)

回答No.2

yyssaa

＞x=rcosθ、dxdy=rdrdθで変換する。
∬x dxdy=∬rcosθrdrdθ=∬r^2drcosθdθ
=∫[θ=0→π/2]{∫[r=a→2asinθ]r^2dr}cosθdθ
=∫[θ=0→π/2]{(1/3)r^3[a,2asinθ]}cosθdθ
=∫[θ=0→π/2]{(1/3){8a^3sin^3θ-a^3}cosθdθ
=(a^3/3)∫[θ=0→π/2](8sin^3θ-1)cosθdθ
=(8a^3/3)∫[θ=0→π/2]sin^3θcosθdθ
-(a^3/3)∫[θ=0→π/2]cosθdθ
=(8a^3/3)(1/4)sin^4θ[0,π/2]-(a^3/3)sinθ[0,π/2]
=(8a^3/3)(1/4)-(a^3/3)=a^3/3

回答No.1

info222_

I=∬[D] x dxdy
D={(r,θ)|r≧a, r≦2asinθ(0≦θ≦π/2)}
={(x,y)|x^2+(y-1)^2≦1,x^2+y^2≧1,x≧0}
I=∫[1,2] dy ∫[0,(1-(y-1)^2)^(1/2)] xdx
+∫[1/2,1] dy ∫[(1-y^2)^(1/2),(1-(y-1)^2)^(1/2)] xdx
=∫[1,2] (1/2)(1-(y-1)^2) dy
+∫[1/2,1] (1/2){(1-(y-1)^2)-(1-y^2)} dy
=(1/2)∫[1,2] (2y-y^2)dy+(1/2)∫[1/2,1] (2y-1)dy
=(1/2)[y^2-y^3/3][1,2]+(1/2)[y^2-y][1/2,1]
=(1/2)(3+1/3-8/3)+(1/2)(1/2-1/4)
=1/3+1/8
=11/24 ... (答)