数学が得意な方へ

質問

計算過程を教えてください。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

17
(1)
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα tanβ)
=(1/2+1/3)/(1-(1/2)(1/3))
=5/5
=1 ...(１つ目の答) ...(※1)
αは鋭角(0<α<π/2)で, tanα=1/2<1であるから 0<α<π/4
かつ
βは鋭角(0<β<π/2)で, tanβ=1/3<1であるから 0<β<π/4
であるから
0<α+β<π/2
この範囲で(※1)となるのは
α+β=π/4 ...(2つ目の答)

(2)
A=4sin(θ-π/3)+4sin(θ+π/3)
第1項、第2項を展開公式を用いて展開すると
cosθsin(π/3)の項が消えるので
A=8 sinθcos(π/3)
=8*(1/5)*(1/2)
=4/5

(3)
sinα=1/5 (0<α<π)より cosα=±√(1-(sinα)^2)=±(2√6)/5
また
cosβ=5/13 (0<β<π)より　0<β<π/2
sinβ＝√(1-(cosβ)^2)=12/13
であるから
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=((2√6)/5)(5/13)-(1/5)(12/13) or -((2√6)/5)(5/13)-(1/5)(12/13)
=((2√6)/13)-(12/65) or -((2√6)/13)-(12/65)
=-(12-10√6)/65 or -(12+10√6)/65
(答)　-(12±10√6)/65

18
２次方程式の解と係数の関係から
tanα+tanβ＝2, tanαtanβ=-5
であるから
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=2/{1-(-5)}=2/6
=1/3 ...(１つ目の答)

cos^2(α+β)=1/{1+(tan(α+β))^2}
=1/{1+(1/3)^2}
=9/(9+1)
=9/10 ...(2つ目の答)

回答No.1

noname#232123

1) 加法定理により、
tan(α+β)={1/2+1/3}/{1 - (1/2)*(1/3)}=1.
0<α+β<pi ゆえ、α+β=pi/4.

2) 和を積になおします。
4*sin(θ-pi/3)+4*sin(θ+pi/3)=4*2*sin{(θ-pi/3+θ+pi/3)/2}*cos{(θ-pi/3-(θ+pi/3))/2}
=8*sinθ*cos(-pi/3)=4*sinθ=4/5.

3) cosα=±3/5, sinβ=12/13, ですから、
cos(α+β)=(±3/5)*(5/13) - (4/5)*(12/13)
=-33/65 または、-63/65.
となります。
--------------------------------------
※加法定理による単なる計算問題ですので必ずご自身で手を動かしてください。