確率 パラドックス？ 教えてください！

質問

白い玉を8個、黒い玉を2個、合計10個を袋に入れて、その中からランダムに一つだけ取り出す時、黒い玉を取る確率は？

A) 10個の中の2個なので、1/10

B) 黒か白か、の二択なので1/2

Aは納得できるのですが、Bはなぜ違うのか説明しろと言われると難しいです。

Bは正しいのか、又、それはなぜ正しくないのかを教えてくださいm(__)m

回答No.6

noname#215361

Aのように考えるときには、同じ袋の中の白い玉と黒い玉の個数の割合が影響します。

Bのように考えようとするのならば、白い玉が入った袋と黒い玉が入った袋を別々にしなければなりません。
このようにすると、例えば白い玉と黒い玉が1個ずつであっても、白い玉が10個で黒い玉が1個であっても、白い玉が1個で黒い玉が10個であっても、黒い玉を取る確率はそれぞれの玉の個数にかかわらず、常に1/2になります。

回答No.5

hetaeigo1989

＞＞白い玉を8個、黒い玉を2個、合計10個を袋に入れて、その中からランダムに一つだけ取り出す時、黒い玉を取る確率は？

「確率」とは中々理解しがたい単元なのですが、大学等で「確率論」の講義を受けると理解しやすくなります。（私は確率、統計系が専門ではありませんので厳密に説明はできませんが出来る限り分かりやすく説明するように心がけます・・・失礼な表現についてご勘弁を）
少し長いですが、お付き合いください。鉛筆と紙を片手にお付き合いください。

まず、標本空間というものについて考えましょう。何回もコインを投げたり、玉を取りだすなど、偶然性を伴う試行あるいは観測を行うことを「確率実験」と言います。１つの確率実験に対して、起こりうる結果の全体を「標本空間」と呼び、『Ω（オメガ）』で表します。Ωのことを全事象ということもあります。Ωの部分集合は、一般に『事象』と呼ばれ、「事象Aが起こるということは、その確率実験の結果、部分集合Aに含まれる標本点のうちどれかが起こるということ」。そして、Ωの各要素を『標本点（ω）』や『根元事象』と呼びます（詳しくは問題と絡めて説明します）。そして、事象Aが起こる確率を

事象Aが起こる確率＝事象Aの標本点の個数/Ωの標本点の個数

と定義します。つまり、「Aが起こる場合の数」を「全ての場合の数」で割ったものです。
標本空間や部分集合という概念は、中学の数学で学ぶ「集合」の知識があれば理解できるとおもいます。その後の説明をし易くするためにΩやωを導入させていただきました。

ここで、質問者様の問題を例に考えてみましょう。
白玉（W:white）と黒玉（B:black）は区別できるものであり、白玉の１つをW1（白玉の1番目 という意味です）、次の１つを『W2』、次を『W3』として名前をつけていくと、白玉は「W1～W8」、黒玉は「B1,B2」が袋の中に存在することになります。また、標本点ω1＝W１と対応付けをします。つまり、ω2＝W2,・・・ω8=W8,　ω9＝B1,　ω10=B2とします。 そのため、今回の問題では、標本空間Ω（全事象）は「袋」であり、その中には10個の玉（＝標本点が10個ある）が存在しています。では、これまでの説明をもとに解答していきましょう。

＞＞白い玉を8個、黒い玉を2個、合計10個を袋に入れて、その中からランダムに一つだけ取り出す時、黒い玉を取る確率は？

A）
確率の定義より、

黒玉を取り出す確率=黒玉の標本点の個数/袋の標本点の個数

となるため、

黒玉を取り出す確率＝2（個）/10（個）＝1/5（＝0.2＝20％）となります。

しかし、B1かB2のどちらの黒玉が取り出されたかは、わかりません。というよりも、今回の玉問題は、その点に関しては興味を持っていません。この問題の興味は、「黒玉のでる確率のみ」です。

次に、B) 黒か白かの二択なので1/2となぜ言うことができないのかについて考えてみましょう。
まず、前提として、問題の条件を確認しましょう。この問題で、袋の中に10個の玉があることが、問題を解答する上での条件となります。言い換えると、この問題の解答を考えるとは、条件から解答を導くということです。つまり、口説いですが、確率の定義より、

『 事象Aが起こる確率＝事象Aの標本点の個数/Ωの標本点の個数』

なので、この問題が与えている条件として、『Ωの標本点は10個』は確定です。勝手に変更することは、別の問題を考えていることになります。そのため、黒玉が取り出される確率は1/5となり、1/2は間違いであると言えます。

確率を苦手とする多くの人が、直感的に「白か黒かの二択なので、1/2」ではないかと考えるのはどうしてなのか。このことについて考えてみましょう。結論から言うと、場合によっては、1/2は正しいのですが、解答が1/2になるということは、「問題の条件」を勝手に変更していることになります。つまり、『袋の中に、白玉が1個、黒玉が1個、合計2個玉が入っている袋からランダムに取り出すときに、黒玉が取り出される確率は？』という問題の条件変更を勝手に行なっているためです。そのため、この変更後の条件のもとであるならば、答えは1/2となります。つまり確率の定義より、

『 黒玉の取り出される確率＝黒玉の標本点の個数（1個 ）/袋の標本点の個数（2個 ）』より、
黒玉の取り出される確率＝1/2となります。

B）が誤りなのは、「あなたはリンゴかバナナのどちらが好きですか？1つ選んでください」と質問され、「ブドウが好きです」と答えるのと同じことです。条件は、リンゴかバナナであり、ブドウは条件に含まれません。

以上で、今回の問題に関しての説明を終えます。今回、確率の定義として示したものは、本来であれば、確率の公理、σ-加法族の各要素に対して定義された集合関数P(・)が次の性質を満たす(1)0≦P(A)≦1　(2)P(Ω)=1　(3)P(U［i=1,2,…,n to ∞］Ai)=Σ［i=1,2,…,n to ∞］P(Ai)
うんたらかんたらと厳密に議論しなければいけませんが、今回は割愛させていただきます。

回答No.4

noname#212313

>白い玉を8個、黒い玉を2個、合計10個を袋に入れて、その中からランダムに一つだけ取り出す時、黒い玉を取る確率は？
>A) 10個の中の2個なので、1/10
>B) 黒か白か、の二択なので1/2

　こういうことを申すと、しばしば「お前は頭がおかしいのか？」などと言われてしまうんですが、敢えて申し上げます（もう慣れたし）。と、前置して。

「Bはなぜ違うのか」ということは誰も説明できないのです。確率は数学の歴史でも比較的最近に出てきたものですが、経験則としては古くから知られていました。経験則とは、お示しの例で言えば、「黒をゲットできる見込みはだいぶ薄いな」ということです。

　それをどうにか計算できないか、ということで現実に起こることを観察し、「目的の物の数/総数」（黒の玉数/玉の総数）で見込みという感覚を定量化できることが分かってきました。それが分かるまでの途上で、黒と白だから二つに一つ（なので1/2）といった仮説もあったでしょうけれど、直感的にも何かおかしいですし、実際に役に立たなかったのです。けれど、白黒の色分けが確率に影響しない理由は、誰も知らないのです（やってみると影響しないが、そのことを数学的に定義できなかった、もしくは証明できなかった、ということ）。

　しかし、なんとか「こう考えると、なんとなくもっともらしい」という説明を考えてみます。

　10個の玉があって、2個が黒、残り8個が白を以下のように表してみます。白い玉10個のうち、2つだけを黒く塗ったとしておきましょう。さらに、番号と対応させておきます（番号も書いてある、と思えばよい）。

１．０１を黒くする
０１２３４５６７８９
●●○○○○○○○○

　黒を取り出すということは、０か１を取り出すということと同じです。黒く塗るのを別の玉にしてみます。

２．８９を黒くする
０１２３４５６７８９
○○○○○○○○●●

　今度は黒を取り出すのは、８か９を取り出すのと同じです。黒か白かの二択だから1/2になると考えるとします（黒白二択説、と仮に命名しておきます）。

　上記の二つの状況が同じだと、黒白二択説で説明できるかどうか。１の場合、白を取り出すのは８と９を含めて、２～９です。黒白二択説では、色を塗る玉を変えて２の状況にしただけで、８と９が特別の玉になるとせざるを得ません。

　だとすると、１の状況で８か９を取り出すのも、やはり確率は1/2でしょう。じゃあ、１の状況での２～７の玉は何なのか。１の状況で、白い玉を千個、1万個、1億個と追加しても、８と９を取り出せるのは確率1/2なのか。

　黒く塗ったという行為が、ある番号の玉が選ばれる確率を変えるというのは、何か変です。超能力とか、神がかりとか、そういう感じです。黒く塗る代りに「念を込めた玉」とか「祈祷してもらった玉」としてみると、そのことがはっきりするかもしれません。そして実際に、何回も試してみると合っていません。

　一方、番号で考えて、「目的の物の数/総数」だとすると、どういう風にしても同じになります。「０か１」「０か２」「１か３」「７か９」等々、要は「10個中、2個」ということで全部同じに計算できますし、現実に試してみると、ほぼ計算通りになります。

P.S.

　ほぼ、というのは、やってみる回数を増やすほど（←玉を取り出して黒白を確認して玉を戻すを繰り返す、あるいは、黒白の玉のセットを多数用意して大勢でやってみる）、計算通りの確率に近づくということです。

　これも経験則で大数の法則と呼ばれたりします。数回試しただけでは、黒白の確率が半々、つまり1/2になることもあります。しかし、百回、千回と試す回数を増やすと、黒を取り出す確率は2/10＝1/5＝0.2＝20％に近づいていきます。

回答No.3

staratras

＞A)10個中の2個なので1/10

これは2/10=1/5　の勘違いか誤記でしょう。それはともかく

＞B)黒か白かの二択なので1/2　というのは、「二択なので1/2」という部分が明らかに誤りです。

そもそもこの場合の「二択」とは「二つの状態のうち必ずどちらか一方の状態になりますよ(一方の状態しかあり得ませんよ）」というだけのことであって、二つの状態が起こる確率が半々(1/2と1/２)という意味ではないことは明らかです。

黒を取る確率をP(黒)、白を取る確率をP(白)とすれば、P(黒)＋P(白)=１　ということです。
これはP(黒)=P（白)=1/２と同じ意味でしょうか、そうではありませんね。

B)の考え方が正しいのであれば、1等賞金3億円が当たる宝くじ1枚についても、「1等が当たるか当たらないかの二択なので3億円当たる確率は1/２」ということになってしまいますが、こんなことを信じる「おめでたい人」がいるとは思えません。

回答No.2

qwe2010

Aは、確率の答えです。
Bは、（二択とは、白と黒を一個ずつそのどちらかを選ぶ問題です）

確率は、同じ作業を、千回とか１万回とか無限に繰り返し統計を取って、どの様な結果になるのかを問われているのです。

２番が正しくないのは、実際に、実験を行なえばすぐに結果が出ます。

１０円玉を１０コ用意してその中の２コにマジックで色をつけて、２～３０回おこなえばBでないのは判ります。
多くすれば多くするほどAの結果に、近づいてくるのが判ると思います。

質問で、もしも１／２になれば偶然の出来事になります。

Bがなぜ正しくないのかは、（二択なので）、これが間違っているからです。

回答No.1

kanemoto_s

１０個中２個をランダムに選択するので確率は１／５です。

Ａで納得してしまったなら、単純なミスと思われます。
Ｂを正しいと考えてしまうのは錯覚です。

過去の経験、もしくは脳の先天的な問題により、ステレオタイプ（固定観念）が出来上がってしまっているためだと考えらています。
もし、二極思考（白か黒かに固執する考え）が強いなら早めに精神科やカウンセラーに相談するか、自力で境界性パーソナリティ障害に関する文章を読み漁ることをお勧めします。