濃度について

質問

実直線も実平面も実立方体も同じ連続体濃度（アレフ1）をもつと言われています。
質問ですが、連続体濃度の次に大きな濃度はアレフ2ですか。
また連続体濃度の次に大きな濃度もしくはアレフ2の濃度をもつ集合とは幾何学的にどのようなものか示すことが出来ますか。

回答No.6

tmpname · ベストアンサー

> 可算集合を1つ１つ集めることは可能でしょう。
> このようにしてあらゆる可算集合を集めるのです。
> 集めた結果は集合になるでしょう。

うむ、その言っている意味は分かる。で、集めた結果は残念ながら「集合にならない」のです。

つまり、その「任意の可算集合からなる集合」があるとすると、（ZFCの公理を色々駆使すると）そこから「任意の集合からなる集合」が作れる。

（イメージとしては任意の集合uを取ってくると、uのべき集合P(u)、そのべき集合P(P(u))、そのべき集合....とやったものを全部集めるとそれは「可算集合」になる。よって、この形をした可算集合{u, P(u), P(P(u)),...}たちだけを取ってきて、それぞれの可算集合から一番小さい集合だけを全部取ってくると、「任意の集合からなる集合」が作れる）

しかし、その「任意の集合からなる集合」というのは存在しません
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
から、結局あらゆる可算集合を集めたものは集合になりません。

お礼

＞しかし、その「任意の集合からなる集合」というのは存在しません

集合のべき集合は集合にはならないと言ってるのですか。

補足

前後しますが、No7のお礼と補足を修正します。

2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１＝連続体濃度

　　　　　　　　　↓

2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１　・・・・・・・・・ZFCの場合
2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１＝連続体濃度　・・・連続体仮説において

ここで以下の３つを明確にしておきたいです。

１．可算集合のべき集合のべき集合は存在しますか。
２．連続体のべき集合は存在しますか。
３．全ての連続体の集合は存在しますか。

よろしくお願いします。

回答No.12

tmpname

ですから、No.11さんも書いていますし、私も既に何回も書いていますが、可算集合のべき集合の濃度=連続体濃度=2^アレフ0だけれども、それがアレフ何なのかはZFCでは決定出来ません。

お礼

新たな疑問が湧いてきました。

＞それがアレフ何なのかはZFCでは決定出来ません。

アレフ何なのか決定できないとしても、無限に続くアレフの中のどれかに一致することは間違いないのでしょうか。
これに関連して、質問「濃度についてーその２」を提出しましたのでよろしくお願いします。

回答No.11

Tacosan

それは ZFC からは決められないって, 既に書いてあるじゃん.

お礼

考え始めると、新たな疑問が湧いてきました。

＞ZFC からは決められないって

アレフ何なのか決定できないとしても、無限に続くアレフの中のどれかに一致することは間違いないのでしょうか。
これに関連して、質問「濃度についてーその２」を提出しましたのでよろしくお願いします。

回答No.10

tmpname

ああ、No.6に補足コメントを書いた方が私のNo.8よりも先だったのですね、失礼しました。いずれにせよNo.6の補足コメントに対してはNo.9の通りです。

お礼

最後に一つだけ確認です。

可算集合の濃度＝アレフ0
可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１
可算集合のべき集合のべき集合の濃度＝アレフ2
可算集合のべき集合のべき集合のべき集合の濃度＝アレフ３
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
以下無限に続く。

これは間違いないですか。

回答No.9

tmpname

> 2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１　・・・・・・・・・ZFCの場合
> 2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１＝連続体濃度　・・・連続体仮説において

違う、そうではなくて、先程書いたことを繰り返すと、

> ＊連続体濃度というのは、実数全体の成す集合の濃度の事で、これは可算集合のべき集合の濃度と等しく、また2^アレフ0とも等しい。
> ＊連続体仮説というのはアレフ1が連続体濃度と等しいという「仮説」。これに関しては先ほども行った通り、ZFCのモデルにより成り立つこともあるし、成り立たないモデルをつくることもできる。

> 可算集合のべき集合のべき集合は存在しますか。
> 連続体のべき集合は存在しますか。
任意の集合に対してそのべき集合は存在します。

> 全ての連続体の集合は存在しますか。
No.6と全く同様の理由で存在しません。

回答No.8

tmpname

まあ一旦まとめますと（以下全てZFCでの話）

＊アレフ0というのは可算濃度（可付番濃度）のこと。
＊アレフ0は無限濃度の中で最低のもので、アレフ(-1)とかそういうのはない。
＊ある集合Aのべき集合というのは、Aの部分集合全体からなる集合。集合Aの濃度と集合Aのべき集合の濃度を比較すると、後者のほうが必ず真に大きい。
＊連続体濃度というのは、実数全体の成す集合の濃度の事で、これは可算集合のべき集合の濃度と等しく、また2^アレフ0とも等しい。
＊アレフ1というのはアレフ0よりも大きい濃度の中で最低のもの、アレフ2というのはアレフ1よりも大きい濃度の中で最低のもの、以下同様。よってアレフ1.5とかいうのはない。
＊連続体濃度はアレフ0よりは大きいことは言えるが、それ以外のことはほとんど何も言えない。ZFCのモデルにより、アレフ1にもなったり、アレフ2にもなったり、その他色々なものになったりする。
＊連続体仮説というのはアレフ1が連続体濃度と等しいという「仮説」。これに関しては先ほども行った通り、ZFCのモデルにより成り立つこともあるし、成り立たないモデルをつくることもできる。

回答No.7

tmpname

> 集合のべき集合は集合にはならないと言ってるのですか。

では、ある集合Aの冪集合の定義は何ですか。正確に述べてください。それは「任意の集合からなる集合」（実際には集合でない）とは別物ですよ。

お礼

やっと理解できました。

2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝連続体濃度

ですね。

補足

もっと正確に書くと、

2^アレフ0＝可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１＝連続体濃度

ですね。

回答No.5

tmpname

> 「全ての可算集合の集合」ってそもそも集合としては存在できないような気もする
ちょっと考えてみたけど、やっぱり「全ての可算集合の集合」というのは集合ではない（集合としては存在できない）です。

お礼

可算集合を1つ１つ集めることは可能でしょう。
このようにしてあらゆる可算集合を集めるのです。
集めた結果は集合になるでしょう。
それが可算集合の集合です。
どこが間違ってますか。

補足

だから、
｛｝
｛｛｝｝
｛｛｝、｛｝、｛｝、・・・・｝
イメージ的にはこんな感じかな。

回答No.4

tmpname

>> ちなみに、そもそも2^アレフ0ってどういう意味か分かっていますか？
> 全ての可算集合の集合の濃度でしょ。

いや、それは違います。「全ての可算集合の集合」ってそもそも集合としては存在できないような気もするし、いずれにせよ2^アレフ0の定義とは違います。

回答No.3

tmpname

ちなみに、そもそも2^アレフ0ってどういう意味か分かっていますか？

お礼

全ての可算集合の集合の濃度でしょ。

回答No.2

tmpname

> アレフ1＜アレフ2　より　アレフ1＜アレフ2＝連続体濃度
> ってことですか。

ZFCから言えることは、
＊ともかく定義からアレフ1＜アレフ2
＊連続体濃度はアレフ何とかであることはたしか。それがアレフ1なのかアレフ2なのか何なのかはZFCだけからだと何とも言えない。連続体仮説を採用すると連続体濃度=アレフ1になるが、連続体仮説でない別の命題を公理に加えた系だと連続体濃度＝アレフ2になることもありうる。

> ところでアレフ0の前にアレフ-1はないですか。
> アレフ-1は定義不可能ですか。
（通常のアレフの定義から）アレフ-1なるものは定義されてません。
どのようなZFCのモデルをとっても、ともかくアレフ0は無限濃度の中で最低なものであって、それより前のアレフはありません。

> ２＾アレフ0＝アレフ1　なら
それは連続体仮説を採用するとそうであって、一般にZFCだけからはそれは言えません。

後の文言は全て「そうではありません」か、「そのようなものは定義されていません」です。