極値と座標を求める問題

質問

関数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2が条件z^2-xy=1という制約を受けるときの極値とその座標を求める問題がわかりません。

解説のほうをよろしくお願いします。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>z が 0 の近傍の値をとるときに f がどうふるまうかを見落としてるんだと思う

z^2+xy+1=0 の形は添付図のようになるので、z=0で極値を取りそうなのは
納得いってます。
＃Maximaで書いてみた。 ちょっと予想外でした(^^;

ラグランジュの未定乗数法で変数を減らさない形で解くと
それがきちんと出てきます。

いままで、消去法で独立変数を減らして解いても同じ結論になるだろうと
思い込んでいたんですが、なんで違うのかな～と。

多分つまらない見落としがあるような・・・

回答No.5

Tacosan

z が 0 の近傍の値をとるときに f がどうふるまうかを見落としてるんだと思う＞#4.

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

極小点が解き方によって変わるのは興味あります。。
z^2=xy+1 の形を考えるとAN03の答で合っている
と思うのですが、zを消去してから解くと、Z=0の
解が得られない。。

何故なんでしょう？

何かつまらない見落としがあるのでしょうか？

回答No.3

info222_

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
z^2-xy=1

g(x,y,z)=1+xy-z^2
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
F(x,y,z)=f(x,y,z)+tg(x,y,z)

fx+tgx=2x+ty=0
fy+tgy=2y+tx=0
fz+tgz=2z-2zt=0
g(x,y,z)=1+xy-z^2=0

この連立方程式の実数解を求めると
停留点は(t,x,y,z)=(2,1,-1,0),(2,-1,1,0),(1,0,0,-1),(1,0,0,1)

(t,x,y,z)=(2,1,-1,0),(2,-1,1,0)のとき極値をとる。
　1+xy=z^2=0とするとxy=-1
　f(x,y,0)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x-(1/x))^2+2≧2
　極値は極小値でf(x,y,z)の極小値2
(t,x,y,z)=(1,0,0,-1),(1,0,0,1)のとき極値をとる。
　x=0とするとz^2=1+xy=1,f(0,y,±1)=y^2+1≧1
　f(x,y,z)の極値は極小値で、f(x,y,z)の極小値1

回答No.2

yyssaa

＞z^2=1+xy、f(x,y,z)=x^2+y^2+1+xy=(x+y/2)^2+(3/4)y^2+1≧1
だから、f(x,y,z)の極小値は1で、その座標は(0,0,±1)・・・答

回答No.1

spring135

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

z^2-xy=1　⇒　z^2=xy+1　⇒　f(x,y,z)=x^2+y^2+xy+1=(x+y/2)^2+3y^2/4+1

x=y=0で極値（最小値）1

お礼

答えてくださりありがとうございます。
助かりました。