数学 全称記号∀について

質問

数学で
「全ての3以上の自然数に対して、命題Pが成り立つ」
というのは、どのように表記すればいいのでしょうか？

∀n∈Ζ ∩ n≧3,命題Pが真
で、あっていますか？

よろしくお願いします

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2の「書き方2」は正書法であり、これを推奨します。

　書き方1は書き方2より簡潔なので、話の文脈（議論領域）が明確な時にしばしば使われます。しかし、書き方2は、同じ論理式を他の文脈で利用する場合にも（たとえば、そこでは議論領域が実数だったとしても）そのままの形で使えるから、間違いが生じにくい。書き方1だと文脈に合わせて修正が必要になります。

　書き方3は略記法です。これが正しい書き方だと思っていると、命題の否定を考えるときに間違えやすくなります。すなわち「「全ての3以上の自然数に対して、命題Pが成り立つ」のではない」という命題は、書き方2なら
　　￢∀n(n∈N∧n≧3 ⇒ P)
となり、これを正しく
　　∃n￢(n∈N∧n≧3 ⇒ P)
へ全く機械的に書き換えられる。けれども、書き方3だとそうは行かず、いちいち論理式の意味を考えなくちゃできませんから、間違いが入る機会が増えてしまうわけです。

　よく使われる略記法
　　∀n≧3; P
は、他人がこれを書いた時にその意図を理解するために、一応知っておく必要があります。（ANo.1の「書き方」の3番目は、この略記法に似ています。）この略記法が好ましくない理由は、ANo.2の書き方3の問題点と同様です。言い換えれば、これを「略記法だと分かっていて、いつでも正書法に戻して書き直せる」という人以外が使うべきではありません。ところが不幸な事に、これは論理式がよく分かっていない人が好んで使う書き方でもあり、その結果、誤りがしばしば生じます。

　なお、ANo.1の「書き方」の1番目はご質問の命題を表しておらず誤り。2番目は意味以前に式の形になっておらず誤り。

お礼

まず、分かりやすい回答ありがとうございます。

論理式の書き方だけでなく、論理式を他の場所に引用するときや、論理式を否定するときに気をつけなければならないことまで教えてくださっていて、とてもうれしかったです。

stomachmanさんがおっしゃるとおり、論理式を完璧に理解するまでは、間違いの少ない書き方２を使おうと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.2

MagicianKuma

書き方１ 全体集合(議論領域)を明示した後、論理式を書く方法
　nを自然数として、
∀n(n≧3 ⇒ P(n))

書き方2　議論領域はあらゆるものとして
　∀n(n∈N∧n≧3 ⇒ P(n))

書き方3　この書き方が一番多いかも
　∀n∈N(n≧3 ⇒ P(n))

いずれにしても、(∀n)(n∈N ∧ n≧3 ∧ P(n))は間違いです
上記を日本語で表現すれば、全てのnは自然数でかつ3以上でかつP(n)が成り立つ。でおかしいでしょ。

お礼

なるほど、様々な書き方があるのですね。
3つめの、略記法まで教えてくださってありがとうございます。

間違った表記法と、多くの正しい書き方を示してくださったおかげで、他の場合にも応用できるようになったと思います。

回答ありがとうございました！

回答No.1

noname#221368

Ｚはふつう整数の集合を表し、自然数の集合はNと書きますが、省略なしで書くとすれば、

　　(∀n)(n∈N ∧ n≧3 ∧ P(n))

だと思います。上記を、

　　(∀n∈N ∧ n≧3)(P(n))

と略記する方法はありますが、大抵上記のようにほとんど略記にならないので（∧が一個減っただけ(^^；)）、

　　nを自然数として、(∀n≧3)(P(n))

ってやるのが普通だと思います。こっちの方がわかりやすいし(^^；)。

お礼

一番はじめに回答していただき、ありがとうございます。

nを自然数として、∀n≧3;P(n)
は、略記法とのことなので、論理式に慣れてきたら使ってみようと思います。

回答ありがとうございました！