ポテンシャルエネルギーの二つの表記の違い

質問

例えば
U1=mgh
U2=-G*Me*m/R
（Meは地球の質量、mは共に対象物の質量、hは地表からの距離、Rは地球の中心からの距離）
こういう式、よく見かけますよね？
これらって、本質的に同じ物を表しているものだと思ったのですが、
どうがんばって考えても、同じことを言う式に見えません。
そもそも二つの式は基準点が違っているだろう、とは思うのですが・・・。
どう処理して良いか分かりません。どなかた教えていただけませんか？

回答No.5

sakura_214 · ベストアンサー

本質的に同じ式ですが，実際は１番目の式は２番目の式の近似式です．

１番目の式の中のhは地表からの距離で，１番目の式は地表を基準点にとったとき，地表から距離hでのポテンシャルエネルギーです．これを２番目の式で考える場合は，地球の中心からの距離Rを基準点にとったとき，その点からhの距離，つまり地球の中心からR+hでのポテンシャルエネルギーを計算してあげればうまくいきます．ということで，２番目の式で（R+hでのポテンシャルエネルギー）－（Rでのポテンシャルエネルギー）を計算してあげれば１番目の式と一致するはずです．

実際計算する場合，hはRに比べて十分小さいことに注意して，|x|が1に比べて十分小さい場合に使える(1+x)^n≒1+nxという近似式を使います．（下の(*)の部分）

-GMm/(R+h)-(-GMm/R)
=-GMm/(R(1+h/R))+GMm/R
=-(GMm/R)((1+h/R)^(-1)-1)
≒-(GMm/R)((1-h/R)-1)　---(*)
=m(GM/R^2)h　---(1)

ここで定数GM/R^2ですが，重力と万有引力のつりあいの式（という表現はあまりよくないが・・・）mg=GMm/R^2よりg=GM/R^2であるので，(1)=mghとなって１番目の式と（近似的に）一致することがわかります．

回答No.6

abyssinian

僕はNO2とNO4を書きました。
NO4でmが変だったので訂正しておきます。

エネルギーU2の物理単位はジュールＪである。

そのR方向の勾配は

dU2/dR=+GMm/R^2　(J/m)　である。

これを=mgとおく。

ここにg=GM/R^2　これは地表では9.8(m/s)である。

高度差hの間でgがほぼ一定ならエネルギレベルの差は

ΔU=勾配×高度差=mgh　(J)

である。以上。

そして僕はNO2を物理的な思考をしてない幼稚な方法としてこのNO4の方を一押しにします。
なぜならNO2はサビのところを(1+x)^a≒1+axという数学に転嫁して物理で説明してなかったからです。

お礼

まとめてお礼する失礼をお許しください。
皆様のお陰で、なんとか理解する事ができたと思います。
ありがとうございました。
細かい所でしたが、丁寧なご説明を頂き、大変感謝しております。
また何かありましたらお願いするかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.4

abyssinian

一発回答

dU2/dR=+GMm/R^2=9.8m/s^2　(@R=6380km)

質量×加速度=力=mg

力×距離=エネルギ=mgh

回答No.3

aryies

地表でのU2は
U2=－G*Me*m/Re
地表より少し高いところをRe'としてそのポテンシャルをU2’とすると
U2’=－G*Me*m/Re'

さてここで両者のポテンシャルの差を見ると；
U2'-U2=-G*Me*m*(1/Re'-1/Re)
=-G*Me*m*(Re-Re')/(Re*Re')
ReとRe'が近いとしてRe=Re'とすると（ここがポイント）、
=-G*Me*m*(Re-Re')/Re^2
=G*Me/Re^2 *(Re'-Re)
それで
　　G*Me/Re^2=g
Re'-Re=h
とおくと
=mgh=U1

G*Me/Re^2が有名な9.8m/s^2
になるわけですね。

回答No.2

abyssinian

U2=-GMm/R
Rがh増すと、h<<Rとして
1/(R+h)=1/(R(1+h/R))=(1-h/R)/R=1/R-h/R^2
ゆえにポテンシャルエネルギは
U2=-GMm/(R+h)=-GMm/R+GMmh/R^2
ゆえにhに対応するエネルギ差は
ΔU=GMmh/R^2=mgh
g=GM/R^2
=(6.673E-11)(5.98E24)/(6.38E6)^2
=9.804m/s^2
つまり地球中心をゼロ基準としたのが-U2でRの所をゼロ基準としてR>>hとした近似式がmgh

回答No.1

elttac

U1 は地表が基準で，U2 は無限遠が基準なのはおっしゃるとおりです。

　では，U1 が距離に比例し，U2 が距離に反比例するのか考えます。
　簡単な話，U1 は U2 の近似式です。地表近くでは h は R に比べてきわめて小さいとして，物体にはたらく力は質量に比例して一定と考えています。

　ですから，「ばねにおもりをさげると……」の問題ではおもりにかかる力は mg で，「人工衛星が地球の周りを……」の問題では GMm ／ r なのです。