高校数学、論理

質問

参考書に、一般に○a=b⇒a^2=b^2は成り立っても×a^2=b^2⇒a=bは成り立たない。

という記述があり、（例）a=2,b=-2はa^2=b^2であっても、a=bではない。とあります。
しかし、○a=b⇒a^2=b^2は成り立ちませんし、×a^2=b^2⇒a=bも成り立ちません。この例は何が言いたいのでしょうか?

回答No.7

kmee · ベストアンサー

A⇒B (AならばB) とは
・Aが真なら、Bは真
ということと同時に
・Aが真でないなら、Bは真だろうが偽だろうが構わない
ということです。
反例となるのは
・Aが真なのに、Bが偽 (A∧(not B))
です。

そして、取り得る全ての値に対して、 反例が無く、上記関係が成立していたら
「A⇒B」は真である
と言えます。

集合で言うなら、「反例以外」であり
反例となるのは
A ∩ (not B)
ですから、
not (A ∩ (not B)) = (not A) ∪ B
になります。

命題X: a=b⇒a^2=b^2
命題X': a^2=b^2⇒a=b
とします。

> a=2,b=-2のとき２＝－２⇒２＾２＝（－２）＾２というのは２＝－２が成り立たない

上に書いた通り、 このとき、 「２＝－２」は偽です。
よって、２＾２＝（－２）＾２ が真か偽かは関係なく、
「２＝－２⇒２＾２＝（－２）＾２」自体は「真」です。
よって、命題Xの反例とはなりません。

逆に
「２＾２＝（－２）＾２」は真です。
対して「２＝－２」は偽です。
真⇒偽 なので「２＾２＝（－２）＾２⇒２＝－２」は「偽」となります。
これは命題X'の反例となります、

> Q⊂Pであって、P⊂Qは成り立たない
A⇒Bで
P: Aが真となる要素の集合
Q: Bが真となる要素の集合
とすると、一般にはそうです

さて、これまでは、 a, b は実数として考えてきましたが、実際には、 a,b が何であるか、ということも重要です。
⇒の真偽を決めるのに「取り得る全ての値に対して」関係が成立しているかどうか、が関係してきます。
例えば、 a,b は正の実数 である場合、命題X'は真となります

お礼

ありがとうございました

回答No.8

MagicianKuma

＞a=2,b=-1の時a=b⇒a^2=b^2は成り立ちません
ここからあなたの理解が間違っています。a=bが偽ののときa=b⇒a^2=b^2は真です。

お礼

ありがとうございました

回答No.6

Tacosan

既に本論からは外れてるけど
2 = -2 → 2^2 = (-2)^2
は成り立つよ.

お礼

ありがとうございました

回答No.5

asuncion

つまり、
a = b ならば a^2 = b^2
という命題は真であるが、
この逆である
a^2 = b^2 ならば a = b
という命題は、常に成り立つとは限らない
（成り立つ場合もあるし、成り立たない場合もある）ので、偽である、ということ。

「逆は必ずしも真ならず」の典型例です。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

asuncion

a=bならばa^2=b^2
が成り立たないとしたら、
数学界全体がひっくり返ってしまいます。
よろしいでしょうか。

お礼

ありがとうございました

補足

自分でも考えてみたのですが、
P=｛a=bを満たす(a,b)}＝{a=b=2のような相等しい(a,b)}
,Q={a^2=b^2を満たす(a,b)}={a=2,b=-2のような絶対値が等しい(a,b)}
Q⊂Pであって、P⊂Qは成り立たない。ということでしょうか？
また、P,Qともに満たすような(a,b)はPを満たす(a,b)である。
（記号の使い方が変なら教えていただけたら嬉しいです）

回答No.3

asuncion

要するに、
a=bならばa^2=b^2である。
が成り立たない、という主張の例として挙げられている
(a,b)=(2,-2)は、反例の体をなしていないのです。

回答No.2

asuncion

何がおっしゃりたいのか判然としません。
もう一回書きます。

aとbが相等しいならば、
『常に』a^2とb^2は相等しい。
これはいいですか？

しかし、
a^2とb^2が相等しいからといって、
aとbが相等しいとは限らない（等しい場合もあるし、等しくない場合もある）。
例：a = 2, b = -2の場合、a^2 = b^2 = 4と、2乗は相等しいが、aとbは相等しくない。

補足

別々の命題ということでしょうか?
(1)a=b⇒a^2=b^2は○(2)a^2=b^2⇒a=bは×
では、☆a=b⇔a^2=b^2が成り立つようなa,bはどのようなa,bなのでしょうか?

回答No.1

asuncion

＞しかし、○a=b⇒a^2=b^2は成り立ちません

本当ですか？
aとbとが相等しい場合、双方を2乗した結果も
相等しいのではありませんか？

お礼

ありがとうございました

補足

(1)a=2,b=-2のとき２＝－２⇒２＾２＝（－２）＾２というのは２＝－２が成り立たないと思いますし、

２＾２＝（－２）＾２⇒２＝－２も２＝－２が成り立たないです。
(2)また、「○a=b⇒a^2=b^2は成り立っても×a^2=b^2⇒a=bは成り立たない」は何が言いたいのでしょうか？
a=2,b=2ならば２＝２⇒２＾２＝２＾２ですから○、２＾２＝２＾２⇒２＝２で○
「○a=b⇒a^2=b^2は成り立っても×a^2=b^2⇒a=bは成り立たない」の例が見つかりません。