次のシグマの求め方を教えてください

質問

次のシグマの求め方を教えてください

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

とりあえず何も考えずに計算機に放り込むと参考URLのような結果を得ます．その表示にガウスの超幾何関数が現れるあたり，初等的な表示はなさそうです．

尤も漸近的な挙動を調べるとかのざっくりした性質ならば，まだ他に手はあるかもしれませんが．あなたは何を目的としてその式を計算しているのですか？

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+C(3n,+k)+from+k=0+to+n-1

お礼

3nを2nとしたときにはパスカルの三角形の係数の対称性によって計算できたのですが、3nにしたときはパスカルの三角形の係数が三等分できることより、初等的関数で表されると思ったのですが、そうではないとわかっただけでも大きな収穫です。ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

#1さんが示されている式で、冒頭の「8^n」は
(1+x)^(3n)=Σ[k=0～3n] (3n)Ｃ(k)* x^k

という二項定理の式から導くことはできますね（x=1とすればよい）。