確率の問題です。(続き）

質問

q=86474で質問した３つの設問の３つ目です。

『
xnの値がνとなる確率が次の式で与えられる。
P(xn=ν) = (ν^n - (ν - 1)^n)/N^n　　(1≦ν≦N)
この時、xnの期待値E(xn)を求めよ。
』

という質問です。

自分なりに考えた所までを書きますね。
E(xn) = Σ(ν=1～N) ν(ν^n - (ν - 1)^n)/N^n)
=Σ(ν=1～N) (ν^(n + 1) - ν(ν - 1)^n)/N^n
={N^(n + 1) - N(N - 1)^n + (N - 1)^(n + 1) - (N - 1)(N - 2)^n + ... + 1^(n + 1) - 1*0^n}/N^n
=[N^(n + 1) - {(N - 1)^n + (N - 2)^n + ... + 1^n}]/N^n
=N - 1/N^n Σ(k=1～N-1) (N-k)^n

この辺りで詰まってしまいました。最後の式のΣが解けるとすると一般的に
Σ(k=1～N) k^n
がとける事になる気がするのですが、
1 + 2 + ... + N = 1/2 * N(N+1)
1^2 + 2^2 + ... + N^2 = 1/6 * N(N+1)(2N+1)
までは高校で習いましたがそれより高次が一般的に解けるのかなーと言うのが疑問です。

よろしくお願いします。

回答No.2

shushou · ベストアンサー

B1,B2についてはq=86477と同じ方法ででます。

高木貞治著「解析概論（改訂第３版、軽装版）」岩波書店
という本はご存知でしょうか。
いろんなことがのっています。名著です。
私が買ったときは2600円でしたが
このボリュームとこの内容で2600円はめちゃくちゃ安い、
と最近では思っています。
taropooさんの質問されたことはほとんど全てのっているという
すごい本です。
とりあえずこの本のp.231からp.234を見てください。

私はこの本を何かわからないことがあったら見るって感じで
辞書代わりに使っています。買っても損しないと思いますよ。

お礼

早速買っちゃいました。

たまたま立ち読みした数学セミナーのある記事の中でも絶賛されてました。
メインをこの本に切り替えて、今使ってる教科書はその後の復習で使おうかなんて考えてます。

ご紹介ありがとうございました。

回答No.1

shushou

q=86474では、勘違いをしていました。
無責任なことを書いてしまい申し訳ありません。

taropoo さんの予想通り、Σ(k=1～N) k^n が分からないと
この問題は解けません。
n 乗和の公式があります。(n=1,2のときはtaropoo さんの書かれている通り)
この公式、ベルヌーイ数を使います。
z/(e^z-1)=Σ(n=0~∞)(Bn*z^n)/n!　　　(|z|<2π)
で、ベルヌーイ数Bnを定義し、
ze^(zx)/(e^z-1)= Σ(n=0~∞)(Bn(x)*z^n)/n!
で、ベルヌーイ多項式Bn(x)を定義します。
B0(x)=1, B1(x)=x-1/2, B2(x)=x^2-x+1/6, ....　となっています。
すると、

1^n+2^n+3^n+...+(k-1)^n = (B(n+1)(k)-B(n+1))/(n+1)

が成り立ちます。
これで、解決！だといいのですが。

補足

また出てきましたねー、ベルヌーイ。これは要チェックかも。

さて本題。

> z/(e^z-1)=Σ(n=0~∞)(Bn*z^n)/n!　　　(|z|<2π)
と定義した時、B1, B2はどうやって求めればいいのでしょう？

さらに
> ze^(zx)/(e^z-1)= Σ(n=0~∞)(Bn(x)*z^n)/n!
と定義した時、B0(x)=1, B1(x)=x-1/2, B2(x)=x^2-x+1/6, ....はどう導出するんですか？

最後、
> 1^n+2^n+3^n+...+(k-1)^n = (B(n+1)(k)-B(n+1))/(n+1)
これは何故ですか？きっとベルヌーイ多項式の色々な性質を知っていないとこれは導けないですね。

どうもq=86477と併せて、ベルヌーイ数とかベルヌーイ多項式についてちゃんと勉強しておく必要を感じてきました。
今日図書館で関係ありそうな本を物色してきたのですがいいのが見つかりませんでした。
お勧めの本とかありませんでしょうか？