三重積分の極座標変換のときのrの範囲が分からない
大学数学の解析で分からない問題があります。
A={(x, y, z)∈R^3 | x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 ≦ 1, x, y, z ≧0}のとき、∫A (x^2 + y^2 + z^2)dxdydz を求めよ。（∫AのAは領域のことです。）
三次元極座標変換をして
∫(x^2 + y^2 + z^2)dxdydz = ∫r^2(r^2sinθdrdθdΦ)となり、積分自体はできるのですが、rの積分範囲が分からず困っています。
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 ≦ 1 , x, y, z ≧0より
0≦x≦a,
0≦y≦b,
0≦z≦c,
全辺二乗して足せば、
0≦x^2+y^2+z^2≦a^2+b^2+c^2
つまり
0≦r^2≦a^2+b^2+c^2
0≦r≦(a^2+b^2+c^2)^(1/2)
と考えたのですが、計算が合いません。
θやΦも
0≦θ≦π/2
0≦Φ≦π/2
と考えたのですがあっていますでしょうか？
ちなみに答えは、πabc(a^2+b^2+c^2)/30となるようです。
そもそも方針が間違っているのでしょうか？
ご教授いただければ幸いです。
お礼
ありがとうございました。