中学の数学の角度の問題を教えてください

質問

中学生の息子から、添付画像の角度の問題の質問をうけました。
三角形の角度の問題くらいなら解るのですが、色々考えてみましたが解りません。
どなたか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.6

QoooL · ベストアンサー

いろいろな解き方があるのが数学の良いところ。

基本的に＃１の回答者さんのおっしゃる通り
　　　２底角の和＝外角
を繰り返していくのが単純です。
ただ、口だけだと、オトナはわかるけど、中学生には難しいかも知れない。
そこで、横取りみたいで恐縮ですが、図を作っておきました。

この問題、私も「わりと簡単な教材（教科書など）」でもよく見ます。それなりの、中学校での教育目標　に合致しているんでしょうね。
　　　三角形の内角のうちの２つを足したら、どこと同じ大きさになるか
それを正確に考える訓練をしてもらう、という教育趣旨と、
　　　一見かなり複雑に見える図形が、すごく簡単な図形（桃色の三角形）に数字的に置き換えられる
という数学のおもしろさの発見。

ですからぜひ、お子さんに、まずはただの三角形で
　　　２底角の和＝外角
を思い出させて（覚えさせて）
（これも、足したら１８０度、ということで説明できますよ、一直線になるのですから）

この七芒星の場合には、どこの三角形に注目するべきか　だけをヒントとして出して、
計算的なことはご自分にやらせるのがよろしいでしょう。

答えだけ一気に見せると、
　　　「こんな難しい問題は、どうせ自力では思い付くわけがない」
とあきらめ癖のつく生徒を今までたくさん見てきました。
むしろ、
　　　どんな複雑な図形も、まずは一番基本の形、三角形を見つけることから初めてごらん
と導くことで、
　　　次から自分でできるかも
という自信を育てることにもなると信念を持っています。

教える方のオトナとしては、他の方の解もひじょうに参考になりますよ。どれが正解とかはないのです。全て正解です。

お礼

解りやすい図まで書いていただき、ありがとうございます。
最終的には三角形の内角に集約されるのですね。
よ～く解りました。(^_^)

回答No.5

麻野 なぎ（@asano_nagi）

ちょっと別解を。
（既にある回答の方が普通だと思います）

・辺DAを、Aの外に延長します。
・延長した線分を、辺AEに重なるまで、Aを中心に右回りに回転させます。
　（このときに回転した角度は、角Aの外角に等しい大きさです）
・辺AEに重なった線分をEの外に延長します。
・これを、辺EBに重なるように右回りに回転させます。
　（このときに回転した角度は、角Eの外角に等しい大きさです）
・同様に、点Bで回転させます（このとき、最初の線から１回転を超えます）
・同様に、点Fで回転させます
・同様に、点Cで回転させます（このとき、最初の線から２回転を超えます）
・同様に、点Gで回転させます
・最後に、点Dで回転させます（このとき、最初の線からきっちり３回転します）

さて、ここまでの操作で、線分が三回転（360×3＝1080度）回転しました。
それは、各点の外角の合計です。
言い換えると、「各点の180度-内角」の合計（180×7=1260度 - 内角の合計）

つまり、 1080度 = 1260度 - 内角の合計
∴ 内角の合計 = 1260 - 1080 = 180度 になります。

お礼

これは面白い解き方ですね！
三角形の外角を使うのではなくこんな方法もあるのですね。
色々な解き方があるのですね。
数学って面白いですね(^_^)

回答No.4

ORUKA1951

順番に三角形を足していったら頂点は２回数えたことになる。それから中心の多角形の内角を引くと引けばよい。
n(個の三角形)×180 = それぞれの三角形の和 + 内側多角形の内角
　　　　　　　　　　= 求める和×2 + (n-2)×180
よって
求める和 = {n×180 - (n-2)×180}/2
　　　　　= (n-n+2)×90
　　　　　= 180
　星の数や形に寄らず、常に180度になる。

他に、三角形のひとつの角の外角は他の角の和に等しいという公式をつかってひとつにまとめても良い。
　⇒自由研究5_星形のひみつ - free05.pdf( http://www.chikyo.co.jp/maths/pdf/free05.pdf )

お礼

なるほど！
ご説明のように式で表すとnに関係なく常に180度になることが解りますね。
解りやすい図まで書いていただきありがとうございました。

回答No.3

usaginotawagoto

回答しようとしたらNO1さんが回答してくださいました。
図があった方がわかりやすいと思いますが、NO1さんの説明でわかると思います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

shintaro-2

まさに三角形の角度なんですけどね

添付して戴いた図の中央に６角形ができているのがわかりますか？

要は、
角Aと角Dを持つ三角形
角Bと角Eを持つ三角形
以下略

とに分解して、
複数の三角形の角度の合計から余分なもの
つまり中央の6角形の内角の和を引く
ということです。

多角形の内角の和については、三角形に分解すればすぐ理解できます。

お礼

なるほどですね。
複数に分解された三角形の角度の合計から中央の多角形の角度を引くのですね。
ご説明ありがとうございます。

回答No.1

qwreasdf

三角形の外角定理の応用問題です。
外角定理については、参考URLをご確認ください。

これを利用して、角A～Gを足していきます。集めていくイメージですね。

例えば、角Fの左側で線が交差していますよね？
その線の上側にうっすらと角度マークを描かれているようですが、
ここの角度は角Aと角Dの和になります。

そしてここの角度と角Gの和は、角Aと角Gの間にある谷間の角度になります。
対頂各は等しいので、その角度は、真ん中にできている五芒星の一番てっぺんの角度と同じです。

こんな風に角度を集めていくと、最終的には1つの三角形の内角に収まります。
つまり答えは180度。

図形を切り取って並べてみたら、直線になるはずですよ。

参考URL：

http://www.winbell-7.com/winbellgk/4winbell-1/html/winbellgk/4winbell/4win-10/sankaku-2.html

お礼

ご説明ありがとうございます。
パズルみたいで数学って面白いですね。