確率、データ分析、ならまかせてという方お願いです！

質問

高校生の英語の教科書にある記述で、納得いかないところがあります。

話は前回のサッカーワールドカップ、タコのパウルくんをご存知ですか？
彼は3位決定戦を含めたドイツ戦計8試合の勝敗を的中させた予言タコと
して認知されました。

普通に考えるなら、その確率は１/2＾８　＝１/256　なので、256人いれば
一人は的中ということに常識的にはなるのですが、Jose　Meridaという
データアナリストはコインモデルを使えば178人いれば十分に的中させら
れる、と書いています。

なぜ２５６でなくて１７８なのかまったくメカニズムがわかりません。統計学
的な数字が関与しているのか、はたまた違うファクターがあるのか、どち
らにしろ現実的には２のべき乗という単純な話ではない、とわかる方がお
られたら後学のため、ぜひとも教えてください。お願いします。

回答No.8

noname#227064

回答No.3お礼
> しかし教科書では、good　chance　つまり、十分に、ということなので、１００パーセントを超えるという意味では？と思ってしまいます。

そう書かれているらしいですね。
100％を超えるということはないですが、それなりに確かな確率で全て当てられるならgood chanceと言ってもいいでしょう。
しかし、どこからgoodなのかは皆同じとは限りません。
私は、5割程度でgood chanceと言うのはどうかと思いますが、そのデータアナリストは違うのでしょう。
そういう基準が書いてあるかと思い元となったものを探してみたのですが、そこまでは記載されていないようなんですよね……。

回答No.7

kamiyasiro

#4，#5です。

幾何分布の部分、「あのデータアナリストがどう間違えたか」の部分を全修正させて下さい。
検算を行ったら間違いに気付きました。申し訳ありませんでした。

まず、前提は復元抽出です。#5で述べたとおり、私の勘違いです。
それによって、各試行は、「非同時・独立」の試行となりますので、累積しても良いです。
178回目「までに」当たりが出現する確率は累積して「1を超えることはありません」。
ここは、計算間違いしていました。#3さんと同じ結果になります。
累積和は、確率密度の原則通り、∞まで累積すると初めて１になります。
以上が間違いの訂正です。

ここで補足ですが、復元抽出の場合、
178番目にくじ引くのは、1番目に引くより有利になっていることは、
決してありません。最後に引いても同じ確率です。

では、あのデータアナリストは、どういう間違いを犯したのでしょうか。
間違いの作り話をでっち上げるのもなかなか骨が折れますが、
多くの人は、177回も外れが続いていれば、そろそろ自分が当たるのではないか、
178回目までに当選が出る確率は、0.50176なので、
この確率だと、あと何回で当たりが出るかは、1/p＝1.993 だと考えます。
これは、今回の試行を含めての値だから、次回以降は1を引いて0.993回。
つまり、178回目で、あと何回調べれば良いかという値が１を切ります。
そうです。もう調べなくても良いというのです。

どういう間違いを犯しているのでしょうか。
今のpは、今までに当たりが出る確率。つまり過去のことを言っているのであり、
今後当たりが出る確率、未来のことについての値ではないのです。
それを未来の生起確率として使用したことが間違いなのです。

お礼

解答された文を自分なりによく読みました。２５６人いても、１／２５６を当てられるのは５０パーセントくらいの確率だと言うこと、もちろんくじはいつ引こうが同じということはわかりました。統計学にとって、２５６分の１の確率をあてるのに１７８人という数字はいったいどんな意味を持っているのか、がいまいちわかりません。データアナリストも教科書もそんなにいい加減ではないと思うのですが。非復元抽出に関しては、よく理解できたつもりです。５分の１あたるくじを元に戻してあたりを引くまでの確率は５分の１より大きく、２０回引いて９９パーセントですよね。それでも１７８が気になります。ホセなんとかという有名な人なんでしょうか。

補足

すみません、お返事が遅くなりました。マシントラブルで今日まで開けませんでした。今急いで読んでいます。取り急ぎ解答の方、ありがとうございました。詳しく読まないと、わからなそうなので、時間がかかるかも、です。

回答No.6

noname#227064

少し気になったので、もとになった記事を探してみたら

http://en.academic.ru/dic.nsf/enwiki/11844571#cite_note-Merida-36

これのreferencesの37が元のようですね。
スペイン語のようでなんて書いてあるのかよくわかりませんが、多分詳しい話は書かれていないと思います。

補足

すみません、お返事が遅くなりました。マシントラブルで今日まで開けませんでした。今急いで読んでいます。取り急ぎ解答の方、ありがとうございました。

回答No.5

kamiyasiro

#4です。深夜なので、頭が鈍っていて間違えました。すみません。

幾何分布について、これは復元抽出です。
n－1回目までの確率は、外れくじを元に戻すので、一定になっています。
言いかえれば、同じ間違いを何度も犯すことを想定しています。
勝敗予想では、あり得ない想定ですね。

データアナリストに言いたいけれど、
予想の場面では、非復元抽出ですよね。

復元抽出、確率の累積、こんな間違いだらけの話を、高校の教科書に載せて良いのでしょうか。

補足

すみません、お返事が遅くなりました。マシントラブルで今日まで開けませんでした。今急いで読んでいます。取り急ぎ解答の方、ありがとうございました。

回答No.4

kamiyasiro

私は企業で品質管理を担当しており、応用統計学で博士号を持っています。
この問題の類似問題は、今年3月の品質管理検定に出題されています。

私も、ご質問者同様このデータアナリストの説明は納得がいきません。

問題を簡単にするために、256ケース中1個の当たりがあるくじとしましょう。

これまでの回答者が回答されているように、もし、復元抽出（くじを元に戻す）であるなら、256回くじを引いても、それまでに必ず当たりが出るわけではありません。
全部外す確率(255/256)^256＝0.367を1から引けばよいので、63％くらしか当たりません。

非復元抽出では、くじを戻しませんが、必ず当たりが出るのは、ご質問者の直感通り256回目です。これをご説明したいと思います。

まず、このデータアナリストがどういう間違いを犯したのか、紐解きましょう。

さて、くじを非復元抽出で引き、n個目で当たりが出たとしましょう。
n－1個目までは外れを引いているわけですから、その確率は、P＝(255/256)^(n－1)・(1/256)です。
非復元抽出というのは、前に外れを引いたら、二度とそれを引かない、勝敗の予想では外れパターンは2度と予想しないということです。
この分布を幾何分布といいます。

このデータアナリストは、この確率を、1～178回まで累積しているのです。何を勘違いしたか、n回目「までに」当たりが出る確率は、その和だと思ったのでしょう。しかし、n－1回で出なかったときに、n回目で出たという確率は従属関係にありますので、和を取るものではありません。
実際に、エクセルで上のPを累積していくと178回で１を超えます。しかし！確率密度の積分(累積)は全範囲で1で、1を超えることはありません。ここで気付くべきです。

さて、では、非復元抽出でn回中に当たりを引く確率はどうなるかというと、256ケースからn個引く場合の数が全ての場合の数で、これが分母となり、1個の当たりから1個を引く場合の数×255個の外れからn－1個の外れを引く場合の数が分子となります。
P＝1Ｃ1・255Ｃ(n－1)／256Ｃｎ　です。
ＣはエクセルではCOMBINという関数で計算できますので、n＝1～256について計算してみて下さい。256回目でやっと確率は1になります。これを超幾何分布といいます。

つまり、商店街の福引で、256個中当たりは1個というとき、
復元抽出では、256人目までに必ず当たりが出るかと言うとそうではなく、その確率は6割ちょっと。
非復元抽出では、256人目まで進まなくても178人目くらいで当たりが出るだろうと素人は考えるが(かのデータアナリストも)、でも実際には、超幾何分布に従うので、確実に当たりがでるのは256人まで引かない分からないということです。

このような確率論は、製品の抜き取り検査では非常に重要です。だから、品質管理検定でも出題されるのです。

補足

すみません、お返事が遅くなりました。マシントラブルで今日まで開けませんでした。今急いで読んでいます。取り急ぎ解答の方、ありがとうございました。追記、今ようやく読了しました。確かに非復元抽出は６３パーセントになるかもしれません。ということは私の理解では確率は半分以下になりますよね。１７８はどこからきたのだろう。

回答No.3

noname#227064

1/256の確率で８試合の勝敗を全部当てることができるのであれば、
1-(1-1/256)^178 = 0.5017603
から、１７８人いれば50%の確率で誰かが全て当ててくれる計算にはなりますね。

お礼

はい、確かにその考え方、数式だと、５０パーセントになりますね。しかし教科書では、good　chance　つまり、十分に、ということなので、１００パーセントを超えるという意味では？と思ってしまいます。

補足

すみません、お返事が遅くなりました。マシントラブルで今日まで開けませんでした。今急いで読んでいます。取り急ぎ解答の方、ありがとうございました。

回答No.2

ikuzecia

＞確率、データ分析、ならまかせてという方お願いです！
私は九九と分数の計算程度なら出来ますが
高校の数学はもとより中学の数学も怪しいですが
このくらい解りますよ。
まず、貴方の理論が間違ってます。
ワールドカップの予選リーグ３試合は引き分けも有ります。
８試合の場合の数は３ｘ３ｘ３ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２＝８６４です。
＞256人いれば一人は的中ということに常識的にはなるのですが、
たとえ８６４人いても一人的中とはなりません。
サイコロの１の目がでる確率は1/6ですが６回振ると
必ず１が出るとは限りませんね。
８６４人が申し合わせをし全員が異なる様に選ん時に
初めて必ず１人は的中となるのです。
＞178人いれば十分に的中させられる、と書いています。
サッカーの試合はサイコロの目のように完全確率方式では
有りませんね。
サッカーでは必ず弱いチーム強いチームが有ります。
たとえばドイツと日本が戦えば勝ち、負け、引き分け
が必ずしも1/3で出てこない筈です。
各々の試合の勝敗の確率を予想すれば
８６４通りあっても1/178の確率で十分的中できると言うことでしょう。

お礼

はい、グループリーグでは確かに引き分けもあるんですが、パウルくんは時間内に選ばなかったら引き分けと予想、かなんかだったと思います。確かに引き分けを考えたら、大幅に数字が変わるんですが。Wikiでもそうだったので。

補足

すみません、お返事が遅くなりました。マシントラブルで今日まで開けませんでした。今急いで読んでいます。取り急ぎ解答の方、ありがとうございました。

回答No.1

stomachman

まず、ご質問は確率の話じゃありません。

> その確率は１/2＾８

という考え方は間違い。考えるべきは、「（どんなに確率が低かろうが）起こりうる結果は何通りあるか」です。
（たとえば、3年間、毎年1枚だけ宝くじを買うとする。当たりか外れかだけを考えると、2^3 = 8通りの結果がある訳です。3回とも当たる確率なんて微々たるものですが、それでも起こりうる結果のひとつとして、3回とも外れる場合と同じように1通りとカウントしなくちゃいけない。）

　それはさておき、必ず勝ち負けが決まる（引き分けなしの）勝負を8回やれば、結果は256通りだという計算は、ご質問の通り。
　しかしですね、タコの事ならまだしもサッカーの事なんざまるで知らないstomachmanだって、優勝チームは3位決定戦に出場しないだろう、ということぐらいなら分かります。
　勝負の途中結果によって、「ドイツ戦」の試合が行われない場合がある、ということを考慮に入れて、実際何通りの結果があり得るかを、もう一度数え直してみては如何でしょう。

お礼

いま、読まさせていただきました。舌っ足らずだったかもしれません。決勝戦はスペイン対オランダ、３位決定戦は、ドイツ対ウルグアイを予想して、的中ですので、８試合連続的中なんです。情報不足で申し訳ありません。

補足

すみません、お返事が遅くなりました。マシントラブルで今日まで開けませんでした。今急いで読んでいます。取り急ぎ解答の方、ありがとうございました。