負の平方根の極限

質問

実数空間上で考えるとき、lim[x→-∞](1/x)^(1/2) は値を持つでしょうか。

回答No.3

stomachman

もしかして、「実数空間上で考える」というのは「xのみならず、(1/x)^(1/2) も実数」という積もりで仰っているのかな。だとしますと：

　　Y(x) = { y | y∈実数 ∧ y = (1/x)^(1/2) }
とおくと、 記号"(1/x)^(1/2)"は
　　c∈Y(x)
を満たすcのうちのひとつ、というモノ（対象）を指している。数学の記号で書けば
　　(1/x)^(1/2) = εc(c∈Y(x))
です。
　ところが、
　　∀x((x∈実数∧x＜0) ⇒ Y(x)=∅ )
つまりx＜0のときY(x)は空集合である。このとき、記号"(1/x)^(1/2)" 、すなわち"εc(c∈Y(x))"は「ナニカ或るモノ」を指してはいるものの、そのモノは実数とは限らず、複素数とも限らず、もちろん、2乗して逆数を取るとxになるモノとは限らないし、そもそも掛け算ができるモノであるとも、絶対値を持つモノだとも、大きさの比較ができるモノだとも限らない。単に「ナニカ或るモノ」というだけです。従って、
　　lim[x→-∞](1/x)^(1/2)
の意味は定義されない。値どころか、意味すら持たないということです。

回答No.2

noname#195146

>実数空間上で考えるとき、lim[x→-∞](1/x)^(1/2) は値を持つでしょうか。

　関数1/xの取る値を複素数を許すとして考えてみます。そうでないと極限値の求めようがありません。

　x＜0において、
　lim[x→-∞](1/x)^(1/2)
＝i・lim[x→-∞](-1/x)^(1/2)
＝i・0
＝0

　実部は0であるため、虚部が0に収束すれば、実数0に収束すると考えていいように思います。

　関数1/xが取る値を実数に限るときに収束する値を持たないとすべきかどうかは、解きたい問題の性質次第でもあるように思います。

回答No.1

statecollege

(1/x)^(1/2) = 1/√ｘ

ですが、√ｘはｘ≧０で定義されていますから、ｘが負の無限大へ収束（発散）することはできません。