近似

質問

参考書によると、x>>aのとき、
(x∓a)^(-2) = x^(-2)(1±(2a/x)＋(3a^2/x^2) のように近似できるようです。

なぜですか？詳しい解説お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

f(y)=(1∓y)^(-2) のy=0のまわりのテーラー展開（マクローリン展開）は
　f(y)=1±2y+3y^2±4y^3+ … （複号同順）
y=a/x とおくと
　f(a/x)=1±2(a/x)+3(a/x)^2±4(a/x)^3+ … （複号同順）

x>>aのとき　a/x<<1なので (a/x)の３乗以上の項を無視して近似すると
　f(a/x)≒1∓2(a/x)+3(a/x)^2　 （複号同順）
両辺に　1/x^2=x^(-2)を掛けて
　(x^(-2))f(a/x)=(x^(-2))(1∓(a/x))^(-2)≒(x^(-2))(1±2(a/x)+3(a/x)^2)　 （複号同順）
左辺の(x^(-2))をカッコの中にいれて
　(x∓a)^(-2)≒(x^(-2))(1±2(a/x)+3(a/x)^2)=x^(-2)(1±(2a/x)+(3a^2/x^2)) （複号同順）

（以上）

近似式にはテーラー展開（マクローリン展開）が多く利用されますので、復習ささってみてください。

参考URL：

http://akita-nct.jp/yamamoto/lecture/2006/3E/2nd/html/node2.html

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

hashioogi

(x∓a)^(-2) = x^(-2)(1±(2a/x)＋(3a^2/x^2)
ではなく
(x∓a)^(-2) = x^(-2)(1±(2a/x)＋(3a^2/x^2))
ですね。