積分がわからん

質問

∫(-∞→∞)dr/(y^2+r^2)^3/2

この積分がとけなくなってし待って困っています。誰か教えて

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞(y^2+r^2)^1/2=t-rとおき、両辺二乗
y^2+r^2=t^2-2tr+r^2、r=(t^2-y^2)/(2t)
(y^2+r^2)^1/2=t-(t^2-y^2)/(2t)=(t^2+y^2)/(2t)
dr/dt={2t(2t)-2(t^2-y^2)}/(2t)^2=(t^2+y^2)/(2t^2)
r→∞でt→∞、r=0でt=|y|だから
∫(r=-∞→∞)dr/(y^2+r^2)^3/2=2∫(r=0→∞)dr/(y^2+r^2)^3/2
=2∫(t=|y|→∞){(2t)^3/(t^2+y^2)^3}{(t^2+y^2)/(2t^2)}dt
=8∫(t=|y|→∞)tdt/(t^2+y^2)^2
再度置換t^2+y^2=sとおく。
tdt=(1/2)ds、t=|y|でs=2y^2、t=∞でs=∞
8∫(s=2y^2→∞)(1/2)ds/s^2=4∫(s=2y^2→∞)ds/s^2
=4[-1/s](s=2y^2→∞)=4[(-1/∞)-{-1/(2y^2)}]=2/y^2・・・答

お礼

大変だったと思うけど、詳しく書いてくれてありがとう。
ちょっと自分でもその流れでやってみます。

回答No.2

info222_

y は積分変数 r と関係がある変数ですか？
それとも、y は r と無関係な定数とみなしていいでしょうか？

y がゼロでない、「積分変数 r と無関係な」定数と見なせるなら

　∫(-∞→∞)dr/(y^2+r^2)^3/2
　=2∫(0→∞)dr/(y^2+r^2)^3/2
　= (2/y^2) [r/√(y^2+r^2)](r=0→∞)
　= 2/y^2

お礼

ベストアンサーじゃなくてごめんなさい。
だけど、自分のためにはなった気がします。
その答えにもっていこうとやってましたが、うまくなりませんでしたww

回答No.1

Tacosan

ち～か～ん～せ～き～ぶ～ん～