半区間展開について

質問

次の関数をsinにより半区間展開せよ
g(t)＝t 0≦t≦π

こちらの問題の解き方が全く分かりません…
誰か教えてください
お願いしますm(_ _)m

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>sinにより半区間展開せよ。

この意味がはっきりしませんが
「0≦t≦π」の範囲でsin関数とその高調波を使って展開せよ。
ということであればg(t)が奇関数の性質を持たせるために
g(t)=t (-π≦t≦π)に拡張してフーリエ級数展開してから
0≦t≦πだけの範囲を取れば良い。

b[n]=(2/π)∫[0,π] t sin(nt)dt
=(2/π)[-t cos(nt)/n+∫cos(nt)/n dt][0,π]
=(2/π)[-t cos(nt)/n+sin(nt)/n^2][0,π]
=(2/π)[-πcos(nπ)/n]
=(2/n)(-1)^(n+1) (n=1,2,3, ... )

(答)
g(t)=Σ[n=1,∞] ((-1)^(n+1))(2/n)sin(nt)
=2sin(t)-sin(2t)+(2/3)sin(3t)-(1/2)sin(4t)+ ...
(0≦t≦π)

お礼

いまいち半区間展開に関しては理解できませんでしたが何となくは分かりました
ご回答ありがとうございます！