積分すると1/2とLが消える？
本の計算では、ある式を積分すると1/2とLが消えてしまっていて、自分の計算と合いません。右辺が0なので両辺に2を掛けてLで割った可能性もあるのですが、1/2が消えるのはまだ許せても、Lが消えるのは納得いきません。（消していいものなのか、もしくは別の理由で消えたのか、判断願います。）
原文を引用します：
※関係式：
∫[0,L] cos (2nπx/L) dx = ∫[0,L] sin (2nπx/L) dx = 0 (式1.17a)
(nは正あるいは負の整数)
[前略]
…さらに、
(1/2) * { da[0](t) }/dt + Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * cos(2nπx/L) + Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * sin(2nπx/L)
= -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * cos(2nπx/L) - D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * sin(2nπx/L)
（式7.6）
…の両辺をそのままx=0からx=Lまで積分すると、先の関係式(式1.17a)より、
{ da[0](t) }/dt = 0 (式7.7c)
が得られる。
・・・以上、引用終わり。
私の計算だと、（式7.6）の両辺をそのままx=0からx=Lまで積分するので：
(1/2) * { da[0](t) }/dt *∫[0,L] 1 dx
+ Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * ∫[0,L] cos(2nπx/L) dx
+ Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * ∫[0,L] sin(2nπx/L) dx
= -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * ∫[0,L] cos(2nπx/L) dx
- D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * ∫[0,L] sin(2nπx/L) dx
になり、
∫[0,L] cos (2nπx/L) dx = ∫[0,L] sin (2nπx/L) dx = 0 (式1.17a)
により、
∫[0,L] cos(2nπx/L) dx
∫[0,L] sin(2nπx/L) dx
はすべて0になります。
残りを計算すると
(1/2) * { da[0](t) }/dt *∫[0,L] 1 dx = 0
(1/2) * { da[0](t) }/dt * [x][0,L] = 0
(1/2) * { da[0](t) }/dt * [L-0] = 0
(1/2) * { da[0](t) }/dt * L = 0
になります。本の答えは
{ da[0](t) }/dt = 0
なので合いません。
[概略]（原文が凄まじく長いので、自分の言葉で書きました…なんとなく分かっていただけたらと思います…足りなかったら補足します）
u(x,t)
が時刻tにおける座標xでの温度uを表します。
このとき、1次元の熱伝導方程式
{ δu(x,t) }/δt = D * { δ^(2) * u(x,t) }/{ δx^(2) } （式7.1）
を解くためにフーリエ級数をどう使うのか、というのが今回のテーマです。
最初の時刻(t=0)での温度分布（つまり、初期条件）は
u(x,0) = f(x) （式7.2）
とします。
例として、長さLの「リング状の」棒での熱伝導を考えます。リング状なので、棒に沿って「ある点」をx=0とすると、
x=x[0]
と
x=x[0]+L
は同じ点に対応するため、「温度uが座標xについて周期Lの周期関数である」という周期的境界条件
u(x,t) = u(x+L,t)（式7.3）
が任意の時刻t (>=0)で成り立っている必要があります。
このときには初期温度分布f(x)にも条件が付き、
f(x) = f(x+L)（式7.4）
が成り立っていないといけません。すなわち、f(x)も周期Lの周期関数です。
u(x,t)をフーリエ級数展開すると、
u(x,t) = (1/2) * a[0](t) + Σ[n=1,∞] a[n](t) cos (2nπx/L) + Σ[n=1,∞] b[n](t) sin (2nπx/L)（式7.5）
になり、この（式7.5）を（式7.1）に代入して項別の偏微分をすると、私の質問に出てくる
(1/2) * { da[0](t) }/dt + Σ[n=1,∞] { da[n](t) }/dt * cos(2nπx/L) + Σ[n=1,∞] { db[n](t) }/dt * sin(2nπx/L)
= -D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * a[n](t) * cos(2nπx/L) - D * Σ[n=1,∞] {(2nπ/L)^2} * b[n](t) * sin(2nπx/L)
（式7.6）
になります。
お礼
本当にありがとうございます。 忘却のかなただったのでご指導がなければもやっとし続けていました。 本当にありがとうございます。