ご指導お願い致します

質問

四角い箱の中に饅頭がきちんと並んで入っている。
縦に数えたら６個、横に数えたら４個。
このとき、６（個）×４（個）＝２４（個）と全体の個数が求められる。

しかし、長さの場合には６（ｍ）×４（ｍ）＝２４（ｍ＾２）のように、
面積の単位になるのに饅頭の場合はなぜ、個＾２にならないのか。

宜しくお願い致します。

回答No.11

stomachman

ANo.10へのコメントについてです。

> XとＹのような座標的な認識でよいのでしょうか。


　仰る通りでしょう。けれども、この部分については、強いてそこまで数学寄りに考えなくて良いのではないかと思います。
　というのは、無意識のうちにヒトの視覚が持つパターン認識能力が、(a)「まんじゅうが幾つかの列をなしてキチンと並んでいる」ということを瞬時に見て取り、さらに(b)「どの列も、それを構成するまんじゅうの個数がキッチリ同じだ」ということも、いちいち数えることなく教えてくれる。（これらが如何にしてなされるかの仕組みに踏み込む認知科学は非常に興味深いけれども、しかし）ここでは、パターン認識能力が教えてくれた情報(a)(b)を信じた上での話をすれば足りるでしょう。
　すると、どれか一列についてそれがいくつのまんじゅうで出来ているかを数え、さらに列がいくつあるかを数えれば（これらの作業は意識して行う訳です）、まんじゅうの総数が掛け算 （1列あたりのまんじゅうの個数）×（列の個数） で計算できる。
　さて、パッと見たとき「縦一列が幾つか横に並んでる」と思うか、「横一列が幾つか縦に並んでる」」と思うかの2通りがある。（ANo.1～3では前者を「列」後者を「行」と呼んで区別していますが、日常の日本語ではそれぞれ「縦一列」「横一列」と言うのだから、どっちも「列」と呼ぶのが普通ってことですよね。）どっちであっても、まんじゅうの総数の計算は正しくできる。このことを大げさに言うなら、「算数の掛け算は可換である（a × b = b × a）」ということです。

> ご掲示頂いたURL

自戒を込めて。

お礼

何度もご丁寧な回答ありがとうございます。

自分はちょっと大げさに考えすぎたということでしたか。
こういうことは勉強の効率が悪くなるので、しっかりと見極めていけるようにしたいです。

それでも、お陰様でたくさんの情報を吟味できるのでうれしい限りです。
確かに、単純明快に“列になっている”と自分も瞬時に認識しております。

ここで、ボクの立場をご想像なされればお分かり頂けると思うのですが、
自分の知識だけではどの回答が本質的なのか見極めがつきません。

stomachmanさんから見れば明らかかもしれませんが、素人目にはどれも有りうるものだと映る可能性もあります。
ですので、自分の中では既に単純解決したのですが、やはりベストアンサを決めかねます。

もちろん、ベストアンサを確定させることは自分の責任でありますが、決めたからどうなるといったものでもなさそうなので放置しておこうと思います。
新たにここへ回答しに訪ねてこられた方も、回答とやり取りを見ればお分かり頂けるのではと思うからです。

>自戒を込めて

そうでしたか。それはまったく見当しておりませんでした。
では、この中にでてくるstomachmanさんも同一人物らしいとうことですね。

いくら反省してもし過ぎることはありませんし、用心し過ぎることも時には必要な気がします。
お察し致します。自分も思い込みで行動することが良くあるので気を付けてはいるのですが、それでも反省が足りていないようなので
今はとんでもなく謙虚で慎重に行動するように心掛けております。（URLと話は違いますが）それに、それでも今回またそれらしいことが起きたのですが。

ご掲示なされたURLの意見を読んでみて、ボクはとても奥ゆかしいタイプの方だなというイメージをstomachmanさんに対して持ちました。
自分のもっていない考え方をしているからなのでしょうか、まだ読んだことのない文章と出会ったような気持ちに近いものかもしれません。

どちらにせよ、知識のステータス、あらゆる経験値や人格が自分の計れる範疇にないらしいことは認識できます。
それゆえ、そのような方にお時間をお割き頂けたことに大変感謝しております。どうもありがとうございました。

回答No.10

stomachman

回答 No.1～3で話は尽きています。なお、「行」と「列」というコトバが出てきますけれども、それは「行列(matrix)」とは無関係です。
ほかの回答についてはこちらをご参照あれ： http://okwave.jp/qa/q41824.html

お礼

そうでしたか。お手を煩わせてしまい申し訳ありませんでした。
そして、ご指摘ありがとうございます。

行列（matrix）の話ではなかったということは、
今回出てきた数学的な行と列は、

XとＹのような座標的な認識でよいのでしょうか。
それとも、量に対する基準としての名称などのような感じでしょうか。

行列と検索してもmatrixの方ばかりが登場しましたので、そちらかと思い込みました。
根本的なことをお尋ねして申し訳なく思いますが、
自分は最近数学、というより算数の勉強を始めたばかりで数学的なイメージには慣れていないません。
もちろん、勉強してきた人と比べてです。ですので、幼稚な質問なのですがお付き合い頂ければ幸いです。

ご掲示頂いたURLを拝見させていただきました。

個人的には、人の考えた発言はとても面白く（興味深く）感じるので、
テーマに関しては特に関心があるものではなかったのですが、あれはあれとして、やり取りを楽しめました。

しかしながら、このURLが何を意図して掲載なされたのかを正直つかみかねます。

たとえば、あのURLで最初の３つ以外の他の回答が間違っているのだと仰っている。
そうであれば、あれではまったく根拠にはなりえません。
他の意見が違うという証拠を示していただかない限り、それらが間違いであることを確定させることはできません。
それにあれでは、余計に自分を含めた閲覧者がそれぞれの主観に偏ってしまう可能性があります。あの議論自体が多少センセーショナルな内容を含んでいるからです。
もちろん、あれだけならば、でのことです。

また、あれで自分も含めた閲覧者に注意を喚起なさっている。
であれば、とても感謝します。自分自身、新参者なので、こういった助言はとても大事にするべきだと考えているからです。
自分は無知なのでなるべく調べるようにしているのですが、それでも検索エンジンで調べただけであるので大抵正しいとは言い切れないものです。ですので思い込みを払拭するので必死であります。
それに、匿名だからなのか似非もんがよく観察されるみたいですね。今後のために心得ておきたいと思います。

あるいは、他の回答者を牽制しようとなさっている。
それも、とても感謝されるべきことだと思います。やはり、議論形式で論破なされるところを見れば、
それは説得力がかなり増すのではないかと思います。それに、こういった指摘（議論を吹っ掛ける？）ことができるかたは、
恐れながら大物ぶって言わせて頂くと、とても貴重で重要な存在であると個人的には思えます。

まだいくつか思い当たるのですが、他は単に、今まで以上の邪推でしかありませんのでここに書くようなことではありません。
どうも、ご指摘ありがとうございました。もし宜しければ、自分の疑問に答えて頂ければ幸いです。

回答No.9

noname#195146

お礼、ありがとうございます。#7です。

>次元と言うのは、直線、平面、立方、といったような数学で扱う図形・グラフのイメージでよろしいのでしょうか？
>それとも、単位を扱うための便宜的な名称のようなものなのでしょうか？

　どちらでもよいです。長さだけは、1次元：長さ→直線・曲線、2次元：面積→平面・曲面、3次元：体積→立体（これの曲がり具合は4次元以上から見ないと分かりにくい）という対応は、直感的に分かります。

　しかし、質量（重さ）、時間になると、直感的には分かりにくいことも多いかと思います。例えば加速度は[m/s^2]などですから、単位の中に時間の2乗を逆数で持ちますが（マイナス2乗と考えても可）、それが何かといったことは、特に対応する物理的な実体はありませんから、イメージのしようもありません。

　もっと機械的に考えて、物理学で定義できる物理量があり、それが何らかの最も基礎的な単位を持ち、無次元として扱うと不都合なら、それを1次元とし、その2乗、3乗、…（あるいは、マイナス1乗、マイナス2乗、…）で扱うことができると割り切ってしまってもいいかと思います。

　さらに、異種の単位を組み合わせることも、よく行われます。加速度もそうですね。基本的な単位としてよく使われるものを、[L]：長さ、[M]：質量、[T]：時間とし、[L]^i[M]^j[T]^k（i, j, k：マイナスや０を含む整数）といった表し方をすることがあり、それだけで物理現象の数式の形が分かることもあります（次元解析）。

　そうした、複数の次元、もしくは複数の異なる単位の組み合わた単位を、基本的な単位（基本単位）に対して、組立単位と呼ぶことがあります。

　しかし個数（を表す助数詞）は、次元を持つとしたら1次元でしょう。どうしても次元を持つ整合性のある単位にできません。次元を持つと、物理学的には同じ単位同士でしか加減算はできず、乗除算では元となる単位の何乗という形になってきます。それが破たんするのは、既に長方形状に物を並べた場合でお考えになられた通りです。

　そうして整理したのが、例えばMKS単位系です。メートル、キログラム、秒ですね。電磁気学に用いるため、アンペアも加えてMKSA単位系としたりもします。基準を変えた単位系も、もちろんあります。個人的に使うなら、整合性さえ崩さなければ、何でも構いません。例えば、メートル・寸・インチという体積の単位を作っても構わないわけです。

　なお、物理学でも扱いかねるのが通貨です。1円と1ドルは足せませんし、掛けても意味が出てきません。個数といった、ただの数ではないわけですね。おそらくどんな単位系（物理学、工学等々）にも出てきませんが、非常に単位的で、それが重要な算盤の世界では、円助数詞と呼んで特別扱いしているようです。

P.S.

　現行の算数を見てみますと、以下の啓林館の算数用語集に少し記載が見つかります。

http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/01/page1_07.html

　小学1年生の履修内容ですが、大人向けの解説です。しかし、非常に曖昧です。こうした小学算数での扱いの曖昧さが、誤解を生んでいる原因の一つのようです。かなり強固に「助数詞は単位そのものである」と思っている人もいるようです。

　説明して誤解が解けることもありますが、数度ほど、お示しのような矛盾が起きることを含め詳しく説明しても（さらに、同じ物が、こちらから個、別からは列/個に化けたりすることも）、助数詞が次元を持つ単位だという見解を持ち続ける人と話したことがあります。

　もしかすると、一部では積極的に「助数詞はメートルなどと同じく単位である」と教えているのかもしれない、と思うと少し不安になることがあります。

お礼

再びご回答ありがとうございます。

どちらでもよいのでしたか。
今は、ぼやっとした認識で次元のことは棚上げしようと思います。
なんせ、次元について調べると数式が出てきて何が何やら分からなかったからです。
だから、まだ勉強を始めたばかりなので、高校レベルの話を熟知できてからにしようと思います。

確かに、通貨は単位的であるのに、次元を持つこともできないのですね。
何とかすれば、次元を持たせる方法があるのかもしれませんが。
だからなのか特別扱いになるのでしたか。
取り留めもない事ですが、あらゆる特別扱いを集めるだけで、本が一冊書けてしまうぐらい、世の中に特別扱いが存在しているような。

助数詞とは小学校で習う手筈のものでしたか。
自分は哀れながら、中学生の時に塾での国文法の授業で助数詞を知った記憶があります。

確かに、人に物を教えるという作業は、説得するのに難易度が高くなるといった場面が多そうですね。お察しします。
自分はなるべく柔軟で慎重でありたいです。

何度もご丁寧にありがとうございました。

回答No.8

mnakauye

こんにちは、No4です。

　すこし説明がわかりにくいかも知れませんので、補足です。

　長さ、面積、饅頭など数える単位につける名前が、名数ですね。メートルや、平方メートルや個がそうです。

　これを計算式で使うときには、教科書では無名数を使います。

　これは、単位となるものがいくつあるかという計算だからです。

　回答４で述べたように、面積の単位は平方メートルであって、メートルではありません。

　この二つ、メートルと平方メートルはまったく別の概念で、平方メートルと個との関係と同じです。

　したがって、面積を計算する場合、1平方メートルのものがいくつあるのかというのが、

　正確な問いです。

　その意味で、回答４では、饅頭も、平方メートルも同じ扱いである、とお答えしました。

　一方で、面積の単位平方メートルは、メートルという単位で作られましたから、

　　６（ｍ）×４（ｍ）＝２４（ｍ＾２）のように書くことが、可能なわけですが、小学校レベルでは

　教科書ではこの表記はされていないはずで、式は常に無名式にして教えているはずです。

　小学校や塾の先生のなかに、これを混同して指導してしまっている人がいるかもしれません。

　　結果としてそう書けるように、平方メートルの単位は作られたということなのです。

　　もしも、１ｍｘ１ｍの単位面積を別の名前、例えばジョブスという名前であったなら、

　饅頭と同じ混同をされるのではありませんか？

　　このばあい、たても横も、４ジョブス、６ジョブスとは言いませんね。

　　横も立ても長さですから、４ｍ、６ｍです。

　　同じことで、　　饅頭の場合に、横を４饅頭、たてを６饅頭とは言いませんよね。

　　つまり

　　　６（ｍ）×４（ｍ）＝２４（ｍ＾２）　のときは、単位名数を置き換えているだけなのです。

　　　　６（ｍ）×４（ｍ）＝２４（ジョブス）と比べてみてください。

　　　６（ｍ）×４００（ｃｍ）ならどうしますか？

　　　　６（ｍ）×４（ｍ）＝２４００（ｍｃｍ）　？？

お礼

何度もご迷惑をおかけします。

＞＞メートルと平方メートルはまったく別の概念

日頃から、こういった捉え方を自分もできるようにしていきたいです。
心得ておきたいと思います。

そう考えると
＞＞面積を計算する場合、1平方メートルのものがいくつあるのかというのが、正確な問い。

これにも納得がいきます。

ジョブス単位はおもしろいですねｗ
自分一人で使う分にはなんでもありですしねｗ

＞＞饅頭の場合に、横を４饅頭、たてを６饅頭とは言いませんよね。

恐れながら、饅頭の場合は具体的には、横を４個、縦を６個と、（個）を使うのではないかと存じます。
と、知った風に考えてしまいましたが、例示である以上、自分の見当違いの可能性が大きいです。
それでも多少気になったので、指摘したいと思います。

確かに、単位名数を置き換えているだけですね。
本当に都合のいい、ないし便利である記号、道具だと思います。それとも基準というべきでしょうか？

どうもありがとうございます。お世話になりました。

回答No.7

noname#195146

>面積の単位になるのに饅頭の場合はなぜ、個＾２にならないのか。

　個^2と考えてもよいのです。しかし個と考えてもいいのです。どうして、どちらでもいいのか。

　それは個数というのは長さのような単位ではないからなんです。

　長さは単位で、例えば長さのm（メートル）であれば、m×m＝m^2で面積、m×m×m＝m^3で体積となります。質量（重さ）のkgを体積（m^3）で割れば密度：kg/m^3などとなります。単位は数字と同じように計算されます。

　単位は「次元がある」などと言われ、長さの次元、質量（重さ）の次元、時間の次元などなどと、それぞれの性質に従った次元があるとされます。次元には数があり、単なる長さのmなら長さが1次元、面積のm^2なら長さが2次元、体積m^3なら長さが3次元などと言われます。

　長さm同士で割算すると、m/m＝1となります。これを、次元の数が０、無次元と呼んだりします。こういうときは、単位がなくなります。なお同じ長さでも違う単位、例えばm/cm＝100cm/cm＝100となりますが、この100がmとcmの単位を換算する数になります。この100も無次元です。

　しかし、個、本、匹、枚などなどは、助数詞と呼ばれるもので、単位ではありません。次元の数は０、無次元です。０を何個掛け合わせても０ですから、個をいくらかけても個の次元は０のままです。

　これを単位のように扱うことはできます。例えば、縦に数えたときは「列」だとし、横で数えたときは「個/列」とします。すると「列×個/列＝個×(列/列)＝個」と、個にすることができます。しかし、これは式を立てる人が単位の扱いをよく知った上で注意して使わねばなりません。

　でないと仰るように「個^2」とは何だろうと考え込むことになってしまったりします（個^2を面積のようなものと考えて便利なこともあるけど、割愛します）。

P.S.

　ちなみに割算では注意点があって、数の０÷０、０/０はできませんが、単位はできて、０になります。例えば、12個を4個ずつに分けるのは、12(個)÷4(個)＝3（人分、皿などなど）で、個/個＝０/０だけど、次元は０、無次元としていい。のです。

お礼

専門的見地からのご回答ありがとうございます。
突飛な質問に対し、丁寧な回答を頂けて大変感謝しております。

確かに、個などを“助数詞”と中学生の時に習った記憶があります。
しかしそれらは同時に“単位”であると認識していました。

更に言えば、小学校あるいは、高校の教師も個などを単位扱いしていたような気がします。
現に、周りの方々に聞いてみたのですが、揃いもそろって単位とであると認識していました。
思い込みの可能性も高いのですが。

そこで一応、助数詞と単位を検索に掛けてみましたが、そこではなんと、正式に単位として認められていない様子でした。
やはり、　さんが仰る「助数詞は単位ではないが、単位として扱うこともできる」ということは、多少上から目線なので恐縮ですが、信頼できるのではないかと感じました。
最も根本的で本質的な部分を斬って頂けたと感じております。

単位には次元がある。とても面白いお話をありがとうございます。
今後のために心得ておこうと思います。これらは物理単位である場合がほとんどの様子ですね。

ここで、とても基本的なことをお尋ねしたいのですが、
次元と言うのは、直線、平面、立方、といったような数学で扱う図形・グラフのイメージでよろしいのでしょうか？
それとも、単位を扱うための便宜的な名称のようなものなのでしょうか？

正直に言いまして、次元に関してかなり曖昧な認識しをしております。
またも、さんからお時間を頂くのは些か気が引けますので、気が向いた時にでもお答え頂けば幸いです。　

「助数詞と単位の違い」というテーマは確かに、子供の頃に学んだ記憶がありません。
だから、巷間では助数詞の単位化、つまり個数を単位として当たり前のように扱う方法が浸透しているととれるのでしょうか。
ただ、自分の記憶力が良くないだけなのかもしれません。

貴重なお時間をお割き頂き、ありがとうございます。お世話になりました。

回答No.6

久保 泰臣（@omi3_）

mは、dm、cm、mmに分割するので、
2次元なら m^2
3次元なら m^3 と単位を設定していると便利です。
例えば、dm^3はリットルなので、
1m^3 = 10^3 dm = 1000リットル
と簡単変換できます。
もし、
個の饅頭を半分のサイズに分割すると
1次元では、個^1　だから 2^1 = 2分割
2次元では、個^2　だから 2^2 = 4分割
3次元では、個^3　だから 2^3 = 8分割
となり、便利です。

でも、
個が、かたまり = 既に 3次元である、とするなら、
別の概念が必要です。

お礼

お忙しい中、貴重なご意見ありがとうございます。
突飛な質問に対し、丁寧な回答を頂けて大変感謝しております。

自分は今回、手前勝手に３次元として意識しておりました。
しかし、また別の場面で参考になるかもしれませんので心得ておきたいと思います。

ひとつ、気になる点があるのですが、

＞＞1m^3 = 10^3 dm = 1000リットル

ここで、10^3dm^3とはならないのでしょうか？

どうもありがとうございます。お世話になりました。

回答No.5

bgm38489

面積の場合、6（m）×4（ｍ）＝２４（m2）となるのは、１ｍ×１ｍ＝１m2の正方形が何個あるかを数えるのに、縦に６個、横に４個並んでいることが長さより割り出せるから。実は、これも６個×４個＝２４個と変わりないのです。
逆に言えば、饅頭の場合、縦に１個・横に１個というのが饅頭１個を表わすのであり、縦に数えたら６個というのは、横を１個として縦に数えたら、６個ということ。面積の場合も、横幅が１ｍの正方形が、縦に６個並んでいるわけですね？

理屈は、そんなとこ。面積１m2は、縦横１ｍのを饅頭１個（そんなのあるわけないが？）と考えてください。

お礼

お忙しい中、時間をお割き頂きありがとうございます。
突飛な質問に対し、丁寧な回答を頂けて大変感謝しております

bgm38489さんの仰る理屈はとても合理的な見解のように思えます。
確かに、こういった考え方も有りだなと関心いたしました。

様々な考え方ができておもしろい限りです。
どうもありがとうございます。お世話になりました。

回答No.4

mnakauye

こんにちは、

　　これは面積の場合もお饅頭の場合も、実は同じなのです。

　　面積の場合、１ｍX１ｍの広さがいくつあるかということです。

　計測の単位を、計算にあわせて面積をｍ＾２にしたのであって、

　約束の問題です。

　あなたの疑問をそのまま面積に持ち込めば、

　例えばたてに６ｍ＾２の面積があって、それがよこに４列並んでいるからといって、

　　６（ｍ＾２）ｘ４（ｍ＾２）とは考えませんね。

　個数（饅頭も１ｍ＾２の面積も）を数えるときは、名数を除いて考えます。

お礼

こんにちは。
お忙しい中、お時間をお割きいただき感謝しております。

確かに、単位を定義するときは量に対する基準のために設けると考えると、
まさに約束事として処理できそうです。

＞＞　６（ｍ＾２）ｘ４（ｍ＾２）

６（ｍ）×４（ｍ）＝２４（ｍ＾２）なのに、この場合はそうはならない。
計算に合わせて、計測の単位を換えるのですね。

なんとも都合のいい記号なんだ、といったイメージができました。
ここにきて急に、ｍ＾４とはならないのはやはり約束として処理するべきでしょうか。

どうもありがとうございます。お世話になりました。

回答No.3

asuncion

行と列を取り違えてしまったっぽい。

縦に6個数えた場合
6個/列 × 4列 = 24個

横に4個数えた場合
4個/行 × 6行 = 24個

っていう方が、数学でいうところの行・列の考え方に
沿っていると思います。

お礼

お忙しい中、突飛な質問に対して、丁寧な回答を頂けて大変感謝しております。

行列の話に沿うものでしたか。
実は、行列はまだ学んでおりませんので、今後もう一度ここに来て読み返そうと思います。

さんの回答を一見したところ、列と行を単位に組み込むことができる様子です。
これならば、綺麗さっぱり個を残すことができそうです。
とてもさっぱりしますし、分かりやすくなるのでしょうか。

いずれ考え直してみようと思います。
どうもありがとうございます。お世話になりました。

回答No.2

U_Sugishita

国語の問題ですな。
第一、長さから面積を求めるから単位が異なる。個数を求めるのに単位を変更する必要は無い。
その例えで行くならば、長方形一周の長さを求めるならば、単位は同じ長さになる。結局、何を求めるのかというそれだけの問題。だからこそ、算数ではなくて国語の問題になる。

お礼

お忙しい中、ご回答ありがとうございます。
時間をお割き頂けたことに大変感謝しております。

極論的な回答に見えましたので、一度目に読んだときは戸惑いましたが、今はなんとなく認識できます。

確かに、何を求めるのか、それだけの事で単位は換わっていきました。

そして今回の問題は、自分が単位として認識していたものが、単位でなかったことにありそうです。
つまり、助数詞を単位扱いして計算までしていた模様です。

どうもありがとうございます。お世話になりました。