数学の質問です

質問

面積５の四辺形ABCDを考える
辺AB、BC、CD、DAをt:1-tに内分する点をそれぞれP、Q、R、Sとおく
この時、四辺形PQRSの面積S(t)をtを用いて求めなさい

またS(t)が最大値をとるtはいくつか
求めなさい
ただし0＜t＜1とする

予想ですが
面積S(t)はtの二次式で最後の最大値は平方完成した後に範囲内で最大となる点だと思います
ただ面積S(t)の求め方が分かりません
よろしくお願いいたします

回答No.1

shuu_01 · ベストアンサー

四辺形は正方形、長方形、平行四辺形ではなく、
どんな四辺形でも当てはまるように解くのですね

△ABD の面積を S1、△CDB の面積を S2 とおくと、
S1 ＋ S2 ＝ 5 となります

△APS の面積は S1・t（1ーt）
△CRQ の面積は S2・t（1ーt）

△APS＋△CRQ ＝（S1＋S2）t（1ーt）＝5 t（1ーt）

同様に △BQP＋△DSR ＝ 5 t（1ーt）

四辺形 PQRS の面積 S（t）は 四辺形 ABCD の面積から
△APS 、△CRQ、△BQP、△DSR の面積を引いた面積
ですので

S（t）＝ 5 ー5 t（1ーt）ー5 t（1ーt）
　　　 ＝ ５ー10 t（1ーt）
　　　＝ 10 t^2 ー 10 t ＋ 5
　　　＝ 10（t ー 1/2）^2 ＋ 5/2

です

JTR-398 さんの予想どおり、t の二次式ですが、
平方完成すると、t ＝ 1/2 の時に最少となります

お礼

画像まで作っていただきありがとうございます
分かりやすかったです
m(__)m

回答No.5

yyssaa

おっと失礼。なお、最小値はt=1/2のときに5/2となる。でした。

お礼

ありがとうございます
m(__)m
おかげでモヤモヤが解消されました

回答No.4

yyssaa

＞以下、面積計算です。
△ABCの面積をS1とすると、△ABQ=tS1、△PBQ=(1-t)△ABQ=(1-t)tS1
△ACDの面積をS2とすると、△SCD=tS2、△SRD=(1-t)△SCD=(1-t)tS2
△ABDの面積をS3とすると、△APD=tS3、△APS=(1-t)△APD=(1-t)tS3
△BCDの面積をS4とすると、△BCR=tS4、△QCR=(1-t)△BCR=(1-t)tS4
S(t)=5-△PBQ-△SRD-△APS-△QCR=5-(1-t)tS1-(1-t)tS2-(1-t)tS3-(1-t)tS4
=5-(1-t)t(S1+S2+S3+S4)=5-10(1-t)t=10t^2-10t+5・・・答
またS(t)が最大値をとるtはいくつか
求めなさい
ただし0＜t＜1とする
＞S(t)=10(t^2-t)+5=10(t-1/2)^2+5/2
だから0＜t＜1でS(t)の最大値は不定。
なお、最小値はt=1/2のときに5となる。

回答No.3

shuu_01

＞　またS(t)が最大値をとるtはいくつか

を答え忘れていました

0 ≦ t ≦ 1 であれば、t ＝ 0 あるいは t ＝ 1 の時、
最大値 5 となる

で良いのですが、問題が　「0＜t＜1とする」
ですので、

t → 0 あるいは t → 1 の時、限りなく 5 に近づく

って答えでしょうか？

もしかして、「また S(t)が最小値をとるtはいくつか求めなさい」

って問題文でありませんか？

回答No.2

shuu_01

No.1 です

△APS の面積が S1・t（1ーt）というのはしょり過ぎましたか？

△ABD と △APD は高さが同じ、底辺の比が 1：t ですので
面積は△ APD の面積は Ｓ１・t
△APD と△APS は高さが同じ、底辺の比が １：（1ーt）ですので、
△APS の面積は S1・t（1ーt）となります

No.1 で上記のような説明を入れても良かったのですが、
正直、頭の中で パッと出てくることなので、回答を簡潔にするためはしょりました